Метод частиц в моделях локальной стохастической волатильности

Исторически модели волатильности используются для оценки опционов для улучшения результатов классического подхода Блэка-Шоулза, одним из расширений которого являются модели локальной стохастической волатильности, которые, в свою очередь, обобщают модели локальной волатильности и стохастической волатильности. Цель данной работы заключается в изучении откалиброванных моделей локальной стохастической волатильности с использованием нелинейных в смысле Маккина стохастических дифференциальных уравнений и их численных аппроксимаций методами частиц. Выпускная квалификационная работа состоит из четырех глав. Первая глава содержит необходимую теоретическую базу для изучения моделей локальной стохастической волатильности. В частности, работа содержит краткий обзор модели Блэка-Шоулза, изложение и вывод модели локальной волатильности Дюпира, а также обзор литературы, связанной с моделями локальной стохастической волатильности, в том числе касающейся задачи существования и единственности решения откалиброванных моделей локальной стохастической волатильности. Во второй главе приведены теоретические аспекты стохастических дифференциальных уравнений типа Маккина. Помимо этого, предложены альтернативные доказательства существования и единственности решения, свойства распространения хаоса и ошибки дискретизации методом Эйлера-Маруямы для уравнения типа Маккина, а также его аппроксимации методом частиц с использованием техник стохастического анализа. Кроме того. рассмотрено применение метода частиц в моделях локальной стохастической волатильности. Третья глава анализирует скорости сходимости системы частиц для модели локальной стохастической волатильности, в частности, для дискретизации Эйлера-Маруямы и аппроксимации методом частиц. Также рассмотрена задача существования и единственности решения для данных систем. Четвертая глава посвящена численным симуляциям стохастических дифференциальных уравнений типа Маккина и моделей локальной стохастической волатильности с использованием метода частиц. Симуляции последних были выполнены на рыночных данных, в связи с чем была рассмотрена проблема расчета и интерполяции локальной волатильности из рыночных данных.