Определение треугольных чисел Рамсея

Число Рамсея R(m, n) определяется как наименьшее число вершин, при котором в каждом графе с таким числом вершин существует либо клика размера m, либо независимое множество размера n. Для некоторых m и n числа Рамсея известны, однако даже для относительно маленьких значений существуют лишь верхняя и нижняя оценки. Существует 2 подхода к поиску точного значения: либо перебор и поиск критических графов, либо построение математического решения. Перебор и поиск критических графов идейно прост, но на практике данный подход работает плохо: так, даже число Рамсея R(5, 5) до сих пор неизвестно. Доказательства того, что R(1, n) = 1 и R(2, n) = n для любых n являются тривиальными, однако для треугольных чисел Рамсея точные значения R(3, n) при n больше 9 неизвестны. Несмотря на просто сформулированное определение чисел Рамсея, большинство существующих исследований сложны и плохо адаптируются для новых чисел Рамсея. Один из примеров такой статьи - <<Some Graph Theoretic Results Associated with Ramsey's Theorem>>, где вместе со многими полезными результатами в теории графов также присутствуют оценки большого числа чисел Рамсея, в том числе доказательства R(3, 6)=18 и R(3, 7)=23. В статье <<On the Ramsey number R (3, 6)>> приведено простое доказательcтво того факта, что R(3, 6) <= 18. В данной работе я провожу упрощение этого доказательства, демонстрирую простое доказательство того факта, что R(3, 7) <= 24, а также предлагаю подход к построению доказательства R(3, 7) <= 23. Ключевые слова: теория графов, треугольные числа Рамсея, комбинаторика