Быстро сходящиеся аппроксимации Чернова

Работа посвящена исследованию сильно непрерывных полугрупп операторов и методов их приближения, разработанных на основе теоремы Чернова. Такие полугруппы образуют некоторый класс решений задачи Коши для эволюционных уравнений, в частности, для параболического дифференциального уравнения с переменными коэффициентами на вещественной прямой. На этом примере построена специальная функция Чернова, которая сходится к полугруппе быстрее, чем обыкновенная функция Чернова. Методы, изложенные в работе, могут оказаться полезными для решения некоторого класса дифференциальных уравнений численными методами. В работе рассмотрена начальная задача для одного класса параболических дифференциальных уравнений второго порядка диффузионного типа на вещественной прямой. Для этой задачи Коши мы построили последовательность приближений Чернова (индексированных положительным целым параметром n), которые сходятся к решению задачи Коши равномерно при стремлении n к бесконечности. Приближения представлены в терминах так называемой функции Чернова, и нам удалось построить такую функцию Чернова, которая дает скорость сходимости не хуже постоянной, деленной на квадрат n для некоторого класса достаточно гладких начальных условий и коэффициентов уравнения. Работа интересна тем, что построение быстро сходящихся приближений к решению задачи Коши для параболического уравнения в частных производных с переменными коэффициентами сводится к относительно простым методам линейной алгебры и вещественного анализа. Следовательно, можно создать алгоритм поиска приближений более высокого порядка и автоматизировать этот процесс. Таким образом, эта формула и ее обобщения и модификации могут быть полезны в численных методах. Представленное исследование содержит длинные явные вычисления в некоторых доказательствах теорем. Чтобы показать, что мы не ошиблись в алгебраических вычислениях, мы написали программу на WolframLanguage, которая обеспечивает те же выражения с помощью символьных вычислений. Текст программы и результаты ее работы представлены в работе. Это можно рассматривать как компьютерное доказательство того факта, что наша функция Чернова действительно обладает указанными нами свойствами.