Геометрия пространства саккад, алгебры Клиффорда и конформная группа

Нейрогеометрия зрения — наука, конструирующая и изучающая геометрические модели процессов раннего зрения. Данная работа посвящена некоторым математическим сюжетам, возникающим при рассмотрении проблемы входных данных в нейрогеометрии. Проблема заключается в описании входной информации, которую мозг получает на самых ранних стадиях обработки визуальный информации, в частности, при помощи глаза как оптического прибора в статике и в динамике. Работа состоит из трёх частей. В первой части мы вводим и развиваем аппарат геометрической алгебры Клиффорда, который используется для формулировки и решения возникающих задач. Вторая часть посвящена построению модели возможных положений глаза и саккад — резких скачкообразных движений глаза от одного направления взгляда к другому, — и сопутствующей проблеме ремаппинга — отождествления образов на сетчатке до и после саккады. Мы строим модель, в которой точки сетчатки и возможные положения глаза соответственно отождествляются с точками касательных пространств T_F S^2 и T_N S^2 к противоположным полюсам сферы S^2. Направленные отрезки плоскости T_N S^2 соответствуют саккадам. Мы приводим формулу для гипотезы, согласно которой ремаппинг задаётся преобразованием Мёбиуса конформной сферы, и доказываем свойство транзитивности для таких преобразований. Известно, что присоединённое действие разложимых обратимых элементов алгебры Клиффорда Cl(V) на векторном пространстве V ортогонально. В третьей части мы даём интерпретацию необратимых ненулевых произведений двух векторов с точностью до умножения на ненулевой скаляр в алгебре Клиффорда Cl_{3,1} как прямых, проходящих через сферу, что даёт простую формулу для центральной проекции на сферу. Мы вводим пространство таких прямых как проективизацию некоторого подмножества в Cl_{3,1}, формулируем и доказываем теорему о трёх точках на одной проективной прямой в этом пространстве.