Теория кодирования над кольцами

Теория кодирования является очень актуальной и исследуемой наукой в современном цифровом мире. Различные классы кодов для кодирования информации используются во всех сферах передачи данных: от чтения информации с CD дисков до приема и передачи сообщений от зондов в пределах солнечной системы. В своей работе я решил особенно подробно рассмотреть такие классы кодов, как: - двойственные, - самодвойственные, - дважды четные самодвойственные. Несмотря на то, что эти коды являются важнейшими классами и известны довольно давно, они остаются не до конца изведанными, а в научном сегменте статей (в том числе интернет-статей), особенно русском, имеется мало информации об этих классах кодов. Мне хотелось, прежде всего, доступно изложить все найденные материалы и простых примерах объяснить, что это за коды и в чем их особенности. В данной работе исследуется новый алгебраический подход для классификации самодвойственных кодов, основанный на теории групп. Точнее, исследуется действие ортогональной группы, сохраняющей метрику Хэмминга, на множестве кодов. Работа бо́льшей частью описывает кодирование над полями F2 и построение кодов именно над полями. Но я предполагаю, что аналогичные методы теории групп могут быть применены для классификации линейных кодов для колец, отчего работа и называется «Кодирование над кольцами». Для этого потребуется детальное исследование действия ортогональных групп конечных квадратичных форм на конечных дискриминантных группах (т.е. дискриминантных формах).