• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Numerical Methods

2019/2020
Academic Year
ENG
Instruction in English
4
ECTS credits
Course type:
Compulsory course
When:
3 year, 3, 4 module

Instructors

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики. Дисциплина изучается в формате смешанного обучения blended learning, с использованием онлайн-курса Introduction to Numerical Analysis на платформе Coursera, https://www.coursera.org/learn/intro-to-numerical-analysis/
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение базовых знаний о численных методах, используемых в современной прикладной математике
  • Приобретение навыков работы в математических пакетах и с библиотеками математического программного обеспечения
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знание математические основы численных методов, применяемых в современных прикладных и фундаментальных исследованиях
  • Умение правильно выбирать тот или иной численный метод для решения конкретных математических задач
  • Навыки работы со стандартными математическими пакетами
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Решение нелинейных уравнений.
    Постановка задачи приближенного решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод бисекции, метод простой итерации, метод Ньютона: алгоритмы, теоремы сходимости. Априорные и апостериорные оценки погрешности. Приведение к виду, удобному для итераций. Влияние погрешности вычислений. Вычисление кратных корней.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.
    Нормы векторов и матриц. Обусловленность задачи решения систем линейных алгебраических уравнений . Метод Гаусса и его модификации. LU-разложение матрицы. Задачи, решаемые на основе LU- разложения. Трудоемкость метода. Метод Холецкого. Метод прогонки. Алгоритм и трудоемкость метода.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.
    Метод простой итерации и метод Зейделя: основные алгоритмы и теоремы сходимости. Каноническая форма записи итерационных методов. Итерационный метод с оптимальным параметром.
  • Приближение функций в смысле наименьших квадратов.
    Постановки задач приближения функций. Метод наименьших квадратов: вывод нормальной системы уравнений, ее разрешимость. Выбор степени аппроксимирующего многочлена.
  • Интерполяция функций.
    Полиномиальная интерполяция. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяции. Интерполяция с кратными узлами. Конечные разности. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона на равномерной сетке. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона. Кусочно-полиномиальная интерполяция.
  • Сплайны.
    Определение сплайна. Многочлен Эрмита. Построение кубических сплайнов дефектов один и два. Различные виды граничных условий.
  • Решение систем нелинейных уравнений.
    Постановка задачи отыскания решения систем нелинейных уравнений, корректность и обусловленность задачи. Метод простой итерации: сходимость метода, модификации. Проблема выбора начального приближения. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости. Трудности использования метода Ньютона. Влияние вычислительной погрешности. Другие подходы к решению задач по решению систем нелинейных уравнений.
  • Минимизация функций.
    Постановка задачи одномерной минимизации. Основные этапы решения. Решение задачи одномерной минимизации методом деления отрезка пополам. Алгоритм и оценка погрешности. Решение задачи одномерной минимизации методом золотого сечения. Алгоритм и оценка погрешности. Связь с задачей отыскания корней нелинейного уравнения. Метод Ньютона для решения задачи минимизации функций.
  • Численное интегрирование.
    Постановка задачи численного интегрирования. Вывод формул прямоугольников, трапеций и Симпсона и оценки погрешностей.
  • Численное дифференцирование.
    Постановка задачи численного дифференцирования. Вычисление левой, правой и центральной производной (первого порядка). Вторая разностная производная. Их оценки погрешности.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Created with Sketch. Домашние задания
  • неблокирующий Created with Sketch. Аудиторная работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Аудиторная работа + 0.4 * Домашние задания + 0.3 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособин для вузов, Амосов А. А., Дубинский Ю. А., 2003

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Higham, N. J., & Dennis, M. R. (2015). The Princeton Companion to Applied Mathematics. Princeton: Princeton University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1426583
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин Н. Н., 2011