Functional Analysis

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

School of Applied Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

3 year, 1, 2 module

Instructors

Busjatskaja, Irina

Wolkowa, Tatyana

Parusnikova, Anastasia

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу базовых дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, Алгебра, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Дифференциальные уравнения. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин, навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов».

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализа
• Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины

Планируемые результаты обучения

• Знание основных положений теории меры и интегрирования; теории метрических, нормированных и евклидовых пространств; теории линейных функционалов и линейных операторов, включая элементы спектрального анализа; теории преобразования Фурье
• Умение применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач, задач математической физики, задач оптимального управления, задач математического моделирования
• Приобретение навыков использования стандартных методов функционального анализа и их применения к решению теоретических и прикладных задач

Содержание учебной дисциплины

• Нормированные пространства. Банаховы пространства
  Определение линейного нормированного пространства. Естественное расстояние, порождаемое нормой. Банаховы пространства. Непрерывность нормы. Эквивалентные нормы. Изоморфизм и изометрия нормированных пространств. Пополнение. Теорема о почти перпендикуляре и ее следствие о некомпактности шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Ряды в нормированных пространствах. Базис.
• Линейные непрерывные функционалы
  Определение линейного непрерывного функионала. Связь непрерывности и ограниченности. Норма функционала. Сопряженное пространство. Полнота сопряженного пространства. Примеры. Теоремы об общем виде функционала в C(I) и в гильбертовом пространстве. Поточечная сходимость и сходимость по норме последовательности функционалов. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза). Критерий слабой сходимости.

Элементы контроля

• Коллоквиум
• Промежуточная аттестация
• Итоговая аттестация
• Контрольная работа 2
• Контрольная работа 1
• контрольно-измерительные материалы
  контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Вычисляется накопленная оценка по формуле 0,3* итог 2 курс + 0,2 * контрольная 1+ 0,2 * контрольная 2 + 0,3 * коллоквиум. О итоговая = 0,4 О накопленная + 0,6 О экзамен.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

• Гуревич А. П., Корнев В. В., Хромов А. П. - Сборник задач по функциональному анализу - Издательство "Лань" - 2012 - 192с. - ISBN: 978-5-8114-1274-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3175