• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Calculus

2020/2021
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
8
ECTS credits
Course type:
Compulsory course
When:
1 year, 1, 2 module

Instructor

Программа дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина является обязательной дисциплиной программы. Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за пределы требований к поступающим на программу бакалавриата. Целью освоения дисциплины является ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчисления функции одной переменной, неопределённое и определённое интегрирование, а также числовые и функциональные ряды. Кроме того, дисциплина нацелена на формирование практических навыков работы с пределами последовательностей и функций, с непрерывными функциями, с производными и дифференциалами функции одной переменной, с неопределёнными и определёнными интегралами.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
  • Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции.
  • Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
  • Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • понимает определение множества, знает примеры простейших числовых множеств и их свойства
  • освоил понятие дифференцируемых числовых функций.
  • знаком с понятием функции, знает элементарные функции
  • освоил элементы теории функций одной переменной
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Функции и множества.
    Понятие функции. Определение и примеры множеств. Множество действительных чисел и его подмножества. Комплексные числа. Элементарные функции и их свойства. Числовые множества и их свойства.
  • Функции одной переменной: предел числовой последовательности.
    Определение и единственность предела числовой последовательности. Переход к пределу в неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: предел и непрерывность функций.
    Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: понятие производной и дифференциала.
    Производная и дифференциал первого и высших порядков и их свойства. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование поведения функций.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной: первообразная, неопределённый интеграл.
    Определение и свойства неопределённого интеграла. Первообразная. Табличные интегралы. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной: определённый интеграл и его свойства.
    Определение интеграла Римана. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Свойства интегрируемых функций. Определённый интеграл с переменными пределами интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям. Некоторые практические приложения определённого интеграла.
  • Ряды: числовые ряды.
    Определение числового ряда, его сходимость и свойства. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми. Интегральный признак сходимости. Сравнительные признаки сходимости. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Перестановки слагаемых абсолютно и условно сходящихся рядов. Умножение рядов.
  • Ряды: функциональные последовательности и ряды.
    Сходимость, равномерная сходимость и свойства функциональных последовательностей и рядов.
  • Ряды: степенные ряды.
    Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитические функции. Формула и ряд Тейлора. Методы разложения функций в степенные ряды.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
    Контрольная работа проводится в письменной форме. Во время экзамена студентам запрещено: учебниками и какими-либо другими дополнительными материалами. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться калькулятором. Для студентов на дистанционном обучении: кратковременным нарушением связи во время экзамена считается до 15 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается более 15 минут. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие микрофона и видеокамеры. Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон.
  • блокирующий Письменная работа
    Экзамен проводится в письменной форме. Во время экзамена студентам запрещено: учебниками и какими-либо другими дополнительными материалами. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться калькулятором. Для студентов на дистанционном обучении: кратковременным нарушением связи во время экзамена считается до 15 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается более 15 минут. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие микрофона и видеокамеры. Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Письменная работа
  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.3 * Контрольная работа + 0.4 * Письменная работа + 0.3 * Промежуточная аттестация (1 модуль)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс математического анализа. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, Кудрявцев, Л. Д., 2006
  • Основы математического анализа. Ч.1: ., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2002
  • Сборник задач по математическому анализу. Т. 1: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость, Кудрявцев, Л. Д., 2012
  • Сборник задач по математическому анализу. Т. 2: Интегралы. Ряды, Кудрявцев, Л. Д., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Краткий курс математического анализа. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды, Кудрявцев, Л. Д., 1998
  • Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009
  • Курс математического анализа : учеб. пособие для вузов, Тер-Крикоров, А. М., Шабунин, М. И., 2000
  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2007