• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Differential Equations

2021/2022
Academic Year
RUS
Instruction in Russian
3
ECTS credits
Course type:
Compulsory course
When:
3 year, 4 module

Программа дисциплины

Аннотация

В данном курсе "Дифференциальные уравнения" вводятся основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений и изучаются наиболее важные методы интегрирования отдельных типов уравнений первого и высших порядков. Затрагиваются проблемы, связанные с теоремами существования решений дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Подробно рассматриваются линейные системы. Достаточное внимание уделяется ознакомлению студентов с качественной теорией дифференциальных уравнений и теорией устойчивости. Данная учебная дисциплина включена в раздел «Профессиональный цикл» Учебного плана 06.03.01 Биология и относится к базовой профильной части. Осваивается на 3 курсе. Изучение данной дисциплины базируется на результатах освоения дисциплин «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Комбинаторика». Основные положения дисциплины «Дифференциальные уравнения» будут использоваться в рамках изучения дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистика», «Биоинформатика» и др., а также при прохождении практик на 3-4 курсах образовательной программы «Клеточная и молекулярная биотехнология».
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основными положениями теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Уметь применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы
  • Приобрести опыт применения современного инструментария дисциплины
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Вводная часть. Основные понятия и определения
    Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), порядка уравнения, решения ОДУ, ОДУ, разрешённого относительно старшей производной. Примеры. Геометрическая интерпретация ОДУ первого порядка, разрешённого относительно производной. Поле направлений, изоклина, изолированная особая точка, интегральная кривая, интеграл, общее решение и общий интеграл ОДУ первого порядка, разрешённого относительно производной. Примеры. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
  • Теорема Коши-Липшица. Продолжение решений
    Задача Коши ОДУ первого порядка, разрешённого относительно производной. Эквивалентность рассматриваемой задачи Коши и соответствующего интегрального уравнения. Теорема Коши-Липшица. Теорема Пеано. Продолжения решения ОДУ вправо (влево) для случаев ограниченной и неограниченной области. Теорема о предельном поведении решений. Примеры.
  • Простейшие методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Построение интегральных кривых.
    Простейшие методы решения уравнений первого порядка: уравнений с разделяющимися переменными, однородных уравнений, линейных уравнений первого порядка, уравнений Бернулли, уравнений в полных дифференциалах. Простейшие методы решения уравнений старших порядков (некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка). Теорема существования и единственности для уравнений с разделяющимися переменными; построение интегральных кривых таких уравнений. Теорема существования и единственности для однородных уравнений. Уравнение возможных касательных, инвариантный луч однородного уравнения. Свойства интегральных кривых однородного уравнения (подобие с центром подобия в нуле, поведение вблизи инвариантного луча). Построение интегральных кривых однородного уравнения.
  • Линейные системы дифференциальных уравнений
    Нормальная система ОДУ, решение нормальной системы ОДУ, задача Коши для нормальной системы ОДУ. Линейные однородные и линейные неоднородные системы ОДУ. Теорема существования и единственности для нормальной системы ОДУ и её применение к линейной системе дифференциальных уравнений с непрерывной матрицей и непрерывной вектор-функцией в правой части. Линейно зависимая и линейно независимая система функций. Связь линейной зависимости вектор-функций и их значений. Определитель Вронского n-мерных вектор-функций. Связь равенства нулю определителя Вронского и линейной зависимости вектор-функций. Связь равенства нулю в некоторой точке вронскиана решений линейной однородной системы с непрерывной матрицей и линейной зависимости данных функций. Фундаментальная система решений линейной однородной системы. Общее решение линейной однородной системы уравнений. Теорема об общем решении линейной однородной системы. Фундаментальная матрица линейной однородной системы и теорема о переходе от одной фундаментальной матрицы линейной однородной системы к другой. Формула Лиувилля-Остроградского. Связь общего решения линейной неоднородной системы и линейной однородной системы. Метод вариации постоянных решения линейной неоднородной системы.
  • Линейные дифференциальные уравнения
    Переход от линейного уравнения n-го порядка к линейной системе, сохранение линейной зависимости решений линейного однородного уравнения и линейной однородной системы при данном переходе. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения. Вронскиан системы функций и связь линейной зависимости функций и равенства их определителя Вронского нулю. Формула Лиувилля-Остроградского для линейных уравнений. Построение линейного однородного уравнения по известной фундаментальной системе решений. Метод вариации постоянных решения линейного неоднородного уравнения. Интегральная формула Коши. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения в случае кратных и некратных корней характеристического уравнения. Квазимногочлены и их свойства. Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью в виде квазимногочлена.
  • Линейные системы с постоянными коэффициентами. Функции от матриц
    Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Частное решении линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами с правой частью в виде векторного квазиполинома. Предел матричной последовательности. Показательная функция матрицы. Связь фундаментальной системы решений линейной однородной системы и показательной функции матрицы. Построение функций от диагональной матрицы и от матрицы, приведённой к жордановой форме.
  • Особые точки
    Классификация изолированных особых точек линейной системы второго порядка с постоянными коэффициентами в терминах характеристических корней. Теорема Пуанкаре. Теорема Пуанкаре-Перрона. Примеры.
  • Устойчивость
    Автономная система ОДУ и её кинематическая интерпретация (фазовое пространство, фазовая траектория, фазовый портрет, стационарная точка системы и т.д.). Поведение траекторий автономной системы. Пример Лотки-Вольтерры. Первый интеграл системы. Система канонических уравнений Гамильтона. Первый интеграл системы канонических уравнений Гамильтона. Устойчивые и асимптотически устойчивые решения системы. Примеры исследования устойчивости решения системы по определению. Теорема об условии устойчивости нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Производная функции в силу системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Примеры. Устойчивость по первому приближению.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа по темам
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * Контрольная работа по темам + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Введение в теорию дифференциальных уравнений : учебник для вузов, Филиппов, А. Ф., 2004
  • Введение в теорию дифференциальных уравнений : Учебник, Филиппов А.Ф., 2007
  • Курс дифференциальных уравнений : учебник для вузов, Степанов, В. В., 2008
  • Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник, Петровский, И. Г., 2009
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Понтрягин, Л. С., 1982
  • Сборник задач по дифференциальным уравнениям, Филиппов, А. Ф., 2005

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Задачи и теоремы из обыкновенных дифференциальных уравнений. Ч. 1: . : метод. разработки для студентов ФПМ, Каменев, И. В., 1985
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (асимптотическое поведение и устойчивость реш..., Каменев, И. В., 1983