Advanced Topics in Algebra

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

Delivered at:

Faculty of Mathematics

Course type:

Optional course (faculty)

When:

3, 4 module

Программа дисциплины

Аннотация

Курс включает в себя элементарное введение в коммутативную алгебру (вплоть до теорем Гильберта о базисе, об инвариантах и о нулях) и элементарное введение в некоммутативную алгебру (в основном теорему плотности и ее следствия в теории представлений конечных групп). Формат: лекция + семинар каждую неделю. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: стандартный курс алгебры.).

Цель освоения дисциплины

• Продолжение стандартного трёхсеместрового курса алгебры, читаемого на факультете математики.

Планируемые результаты обучения

• В результате изучения дисциплины студент должен знать элементарное введение в коммутативную алгебру и элементарное введение в некоммутативную алгебру.

Содержание учебной дисциплины

• Кольца главных идеалов. Факториальные кольца. Поле частных. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна.
• Результант и дискриминант. Теорема Безу для кривых.
• Модули над кольцами: определение и примеры. Теоремы Жордана–Гельдера и Крулля–Шмидта. Теорема о модулях над кольцами главных идеалов и ее приложения.
• Целые расширения колец. Целозамкнутость. Кольца целых алгебраических расширений. Целые алгебраические числа.
• Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
• Теорема Гильберта об инвариантах (для конечной группы). Теорема о симметрических многочленах.
• Теорема Гильберта о нулях.
• Алгебры над полем и модули над ними. Примеры. Лемма Шура.
• Полупростые алгебры. Теорема плотности и ее следствия. Структура полупростой алгебры над полем.
• Представления конечных групп. Теорема Машке. Ортогональность характеров.
• Индуцированные представления. Двойственность Фробениуса.
• Представления симметрической группы. Двойственность Шура–Вейля.

Элементы контроля

• Письменные контрольные работы
• Письменные домашние задания
• Коллоквиум
• Устный экзамен
  Альтернативным способом получения итоговой оценки 10 баллов является сдача всех задач из листка повышенной сложности (задачи сдаются устно лектору).

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.2 * Коллоквиум + 0.2 * Письменные домашние задания + 0.2 * Письменные контрольные работы + 0.4 * Устный экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Винберг Э.Б. - Курс алгебры - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - 590с. - ISBN: 978-5-4439-2013-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56396

Рекомендуемая дополнительная литература

• Городенцев А.Л. - Алгебра. Часть 1: учебник для студентов-математиков - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 485с. - ISBN: 978-5-4439-2087-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56398