• A
• A
• A
• ABC
• ABC
• ABC
• А
• А
• А
• А
• А
Regular version of the site

# Mathematics for Economists

2020/2021
ENG
Instruction in English
10
ECTS credits
Course type:
Compulsory course
When:
2 year, 1-4 module

#### Instructors

Брыков Вячеслав Вячеславович

Pervouchine, Dmitry D.

### Course Syllabus

#### Abstract

Mathematics for Economists is a two-semester course for the second year students studying at ICEF. It is designed for all specializations at ICEF but for the “Mathematics and Economics” specialization the students of which follow a different course ‘”Mathematical Methods for Economists”. This course is an important part of the bachelor stage in education of the future economists. It has to give students skills for implementation of the mathematical knowledge and expertise to the problems of economics. Its prerequisite is the knowledge of the single variable calculus.

#### Learning Objectives

• Students are expected to develop an understanding of basic algebraic concepts such as linear vector space, linear independence, bases, coordinate systems, dimension, matrix algebra, linear operators, dot product, orthogonality. On the practical side, among other skills, students are expected to be able to solve systems of linear equations, find fundamental system of solutions, invert matrices, find eigenvalues, and do orthogonal projections. Students are supposed: to acquire knowledge in the field of higher mathematics and become ready to analyze simulated as well as real economic situations; to develop ability to apply the knowledge of the differential and difference equations which will enable them to analyze dynamics of the processes.

#### Expected Learning Outcomes

• Solve equations by Gaussian elimination method
• Practice techniques of matrix operations
• Be able to invert a matrix either by finding cofactors or by Gaussian elimination method
• Be able to classify bilinear and quadratic forms
• Explain orthogonality of vectors, properties of a dot product, Gram-Schmidt procedure, eigenvalues, eigenvectors
• Classify the sets in n-dimensional space
• Apply the notion of level curve to microeconomics
• Be able to find a limit of a function at a point
• Be able to handle derivatives
• Explain and apply gradient and related directional derivative
• Find derivatives of implicit functions
• Apply IFT to microeconomic and macroeconomic problems

#### Course Contents

• Linear Algebra
Systems of linear equations in matrix form Linear space. Linear independence Linear subspace Matrix as a set of columns and as a set of rows Determinant of a set of vectors Inverse matrix Linear operator as a geometric object Eigenvalues, eigenvectors and their properties Bilinear and quadratic forms Dot product in linear spaces
• Multi-dimensional calculus
Main concepts of set theory. Operations on sets. Direct product of sets. Relations and functions. Level sets and level curves. Space . Metric in n-dimensional space. The triangle inequality. Euclidean spaces. Neighborhoods and open sets in , Sequences and their limits. Close sets. The closure and the boundary of a set. Functions of several variables. Limits of functions. Continuity of functions Partial differentiation. Economic interpretation, marginal products and elasticities. Chain rule for partial differentiation Total differential. Geometric interpretation of partial derivatives and the differential. Linear approximation. Differentiability. Smooth functions. Directional derivatives and gradient Higher-order derivatives. Young’s theorem. Hessian matrix. Economic applications Implicit functions. Implicit function theorem Vector-valued functions. Jacobian Implicit function theorem for the vector-valued functions Economic applications of the IFT for the comparative statics problems.
• Optimization
Unconstrained optimization of the multi-dimensional functions. Stationary points. First-order conditions Second differential. Quadratic forms and the associated matrices. Definiteness and semi-definiteness of the quadratic forms. Sylvester criterion. Second-order conditions for extrema Constrained optimization. Lagrangian function and multiplier. First-order conditions for constrained optimization Second differential for the function with the dependent variables. Definiteness of quadratic form under a linear constraint. Bordered Hessian. Second-order conditions for the constrained optimization Economic meaning of a multiplier. Applications of the Lagrange approach in economics. Smooth dependence on the parameters. Envelope theorem
• Differential and difference equations
Dynamics in economics. Simple first-order equations. Separable equations. Concept of stability of the solution of ODE. Exact equations. General solution as a sum of a general solution of homogeneous equation and a particular solution of a nonhomogeneous equation. Bernoulli equation. Qualitative theory of differential equations. Solow’s growth model. Phase diagram Second-order linear differential equations with constant coefficients Complex numbers and operations on them. Representation of a number. De Moivre and Euler formulae Higher-order linear differential equation with constant coefficients. Characteristic equation. Method of undetermined coefficients for the search of a particular solution. Stability of solutions. Routh theorem (without proof). Discrete time economic systems. Difference equations. Method of solving first-order equations. Convergence and oscillations of a solution. Cobweb model. Partial equilibrium model with the inventory Second-order difference equations Higher-order difference equations. Characteristic equation. Undetermined coefficients method. Conditions for the stability of solutions
• Methods of optimization
Homogeneous functions Optimization in 2 variables with the inequality constraints. First order conditions, generalization on the n-dimensional case Kuhn-Tucker formulation, applications from economics Meaning of Lagrange multipliers, envelope theorems (refreshment) Linear programming Introduction to the game theory. Bimatrix games. The notion of Nash equilibrium. Dominant and dominated strategies. Equilibrium in mixed strategies. Methods of finding equilibria in the zero sum games

#### Assessment Elements

• UoL exam
• home assignments
• fall mock
Для студентов она дистанте экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Проверку настроек компьютера необходимо провести заранее, чтобы в случае возникших проблем у вас было время для обращения в службу техподдержки и устранения неполадок. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: 1. Стационарный компьютер или ноутбук (мобильные устройства не поддерживаются); 2. Операционная система Windows (версии 7, 8, 8.1, 10) или Mac OS X Yosemite 10.10 и выше; 3. Интернет-браузер Google Chrome последней на момент сдачи экзамена версии (для проверки и обновления версии браузера используйте ссылку chrome://help/); 4. Наличие исправной и включенной веб-камеры (включая встроенные в ноутбуки); 5. Наличие исправного и включенного микрофона (включая встроенные в ноутбуки); 6. Наличие постоянного интернет-соединения со скоростью передачи данных от пользователя не ниже 1 Мбит/сек; 7. Ваш компьютер должен успешно проходить проверку. Проверка доступна только после авторизации. Для доступа к экзамену требуется документ удостоверяющий личность. Его в развернутом виде необходимо будет сфотографировать на камеру после входа на платформу «Экзамус». Также вы должны медленно и плавно продемонстрировать на камеру рабочее место и помещение, в котором Вы пишете экзамен, а также чистые листы для написания экзамена (с двух сторон). Это необходимо для получения чёткого изображения. Во время экзамена запрещается пользоваться любыми материалами (в бумажном / электронном виде), использовать телефон или любые другие устройства (любые функции), открывать на экране посторонние вкладки. В случае выявления факта неприемлемого поведения на экзамене (например, списывание) результат экзамена будет аннулирован, а к студенту будут применены предусмотренные нормативными документами меры дисциплинарного характера вплоть до исключения из НИУ ВШЭ. Если возникают ситуации, когда студент внезапно отключается по любым причинам (камера отключилась, компьютер выключился и др.) или отходит от своего рабочего места на какое-то время, или студент показал неожиданно высокий результат, или будут обнаружены подозрительные действия во время экзамена, будет просмотрена видеозапись выполнения экзамена этим студентом и при необходимости студент будет приглашен на онлайн-собеседование с преподавателем. Об этом студент будет проинформирован заранее в индивидуальном порядке. Во время выполнения задания, не завершайте Интернет-соединения и не отключайте камеры и микрофона. Во время экзамена ведется аудио- и видео-запись. Процедура пересдачи проводится в соответствии с нормативными документами НИУ ВШЭ.
• December exam
• spring mock
• Linear Algebra exam
Для студентов она дистанте экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Проверку настроек компьютера необходимо провести заранее, чтобы в случае возникших проблем у вас было время для обращения в службу техподдержки и устранения неполадок. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: 1. Стационарный компьютер или ноутбук (мобильные устройства не поддерживаются); 2. Операционная система Windows (версии 7, 8, 8.1, 10) или Mac OS X Yosemite 10.10 и выше; 3. Интернет-браузер Google Chrome последней на момент сдачи экзамена версии (для проверки и обновления версии браузера используйте ссылку chrome://help/); 4. Наличие исправной и включенной веб-камеры (включая встроенные в ноутбуки); 5. Наличие исправного и включенного микрофона (включая встроенные в ноутбуки); 6. Наличие постоянного интернет-соединения со скоростью передачи данных от пользователя не ниже 1 Мбит/сек; 7. Ваш компьютер должен успешно проходить проверку. Проверка доступна только после авторизации. Для доступа к экзамену требуется документ удостоверяющий личность. Его в развернутом виде необходимо будет сфотографировать на камеру после входа на платформу «Экзамус». Также вы должны медленно и плавно продемонстрировать на камеру рабочее место и помещение, в котором Вы пишете экзамен, а также чистые листы для написания экзамена (с двух сторон). Это необходимо для получения чёткого изображения. Во время экзамена запрещается пользоваться любыми материалами (в бумажном / электронном виде), использовать телефон или любые другие устройства (любые функции), открывать на экране посторонние вкладки. В случае выявления факта неприемлемого поведения на экзамене (например, списывание) результат экзамена будет аннулирован, а к студенту будут применены предусмотренные нормативными документами меры дисциплинарного характера вплоть до исключения из НИУ ВШЭ. Если возникают ситуации, когда студент внезапно отключается по любым причинам (камера отключилась, компьютер выключился и др.) или отходит от своего рабочего места на какое-то время, или студент показал неожиданно высокий результат, или будут обнаружены подозрительные действия во время экзамена, будет просмотрена видеозапись выполнения экзамена этим студентом и при необходимости студент будет приглашен на онлайн-собеседование с преподавателем. Об этом студент будет проинформирован заранее в индивидуальном порядке. Во время выполнения задания, не завершайте Интернет-соединения и не отключайте камеры и микрофона. Во время экзамена ведется аудио- и видео-запись. Процедура пересдачи проводится в соответствии с нормативными документами НИУ ВШЭ.
• Linear Algebra midterm
• Linear Algebra home assignments

#### Interim Assessment

• Interim assessment (2 module)
0.42 * December exam + 0.14 * fall mock + 0.14 * home assignments + 0.15 * Linear Algebra exam + 0.03 * Linear Algebra home assignments + 0.12 * Linear Algebra midterm
• Interim assessment (4 module)
Course grade for those students who specialize in “Economics”, “Economics and Finance” is determined by University of London exam grade for “Mathematical methods for economists”. Course grade for the students specializing in “Banking and Finance” and “Economics and Management” is determined by University of London exam grade for “Mathematics – I”

#### Recommended Core Bibliography

• Mathematics for economists, Simon, C. P., Blume, L., 1994