Differential Equations

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

5

ECTS credits

Delivered at:

Faculty of Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 1, 2 module

Instructors

Arseyev, Petr

Zybin, Kirill

Klimenko, Alexey V.

Saponov, Pavel A.

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.

Цель освоения дисциплины

• Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
• Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений

Планируемые результаты обучения

• Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
• Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
• Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
• Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
• Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
• Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
• Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
• Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
• Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.
• Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
• Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
• Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
• Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.

Содержание учебной дисциплины

• Элементарные свойства ОДУ и систем
  Переход от уравнения высокого порядка к системе ОДУ 1 порядка. Автономные ОДУ. Переход от неавтономного системы к автономной большей размерности
• Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
  Теорема о существовании и единственности решений ОДУ (при определённых условиях на правую часть). Примеры неединственности.
• Продолжение решений ОДУ
  Существование максимального интервала продолжимости решения. Теорема о продолжении решения до границы компакта.
• Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
  Теорема о непрерывной зависимости решений от параметров и начальных условий
• Оператор Коши и группа потока ОДУ
  Оператор Коши ОДУ. Преобразования потока автономного ОДУ.
• Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
  Теорема о гладкой зависимости решений ОДУ от параметров и начальных условий. Теорема о выпрямлении векторного поля
• Метод разделения переменных
  Решение ОДУ методом разделения переменных. Методы сведения различных классов ОДУ к уравнениям с разделяющимися переменными.
• Общие свойства линейных ОДУ и их систем
  Продолжение решений линейных ОДУ на область определения правой части. Векторное пространство решений. Фундаментальная матрица решений. Определитель Вронского.
• Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
  Решение систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Решение линейных уравнений с квазимногочленами в правой части
• Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
  Линеаризация системы. Теорема Гробмана-Хартмана.
• Устойчивость решений дифференциальных уравнений
  Различные понятия устойчивости особой точки ДУ. Анализ устойчивости с помощью функций Ляпунова и Четаева. Анализ устойчивости по линейной части.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Проверочные работы на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен
• Устная сдача задач листков

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.08 * Домашние задания + 0.08 * Коллоквиум + 0.16 * Проверочные работы на семинарах + 0.08 * Устная сдача задач листков + 0.6 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Арнольд, В. И., 1984

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник для мех.-мат. фак. ун-тов, Петровский, И. Г., 1970