Research Seminar "Mechanics"

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

3

ECTS credits

Delivered at:

Faculty of Mathematics

Course type:

Compulsory course

When:

2 year, 4 module

Instructors

Poberezhny, Vladimir A.

Pyatov, Pavel N.

Saponov, Pavel A.

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение курса “Механика” базируется на обязательных курсах алгебры, математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений. Желательно, но не необходимо также знакомство с основными понятиями вариационного исчисления, дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. Полученные при освоении дисциплины знания и навыки используются в дальнейшем при изучении следующих курсов по выбору: гамильтонова механика, классическая теория поля, квантовая механика, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, уравнения в частных производных.

Цель освоения дисциплины

• Получить представление об основных физических принципах, математических структурах и методах исследования классической нерелятивистской механики, а также о ее базовых моделях.

Планируемые результаты обучения

• Владеть навыками самостоятельного построения простых моделей нерелятивистской классической механики.
• Иметь понятие о физических основаниях и основных математических принципах классической теоретической механики: взаимоотношениях и границах применимости ньютонова и лагранжева формализмов, идеальных связях и принципе Даламбера, работе и потенциальных силах, инерциальных и неинерциальных системах отсчета, принципе наименьшего действия, законах сохранения и их связи с симметриями механической системы (теорема Э.Нетер)
• Владеть математическим аппаратом классической механики, включая основные понятия и технику решения дифференциальных уравнений, основы вариационного исчисления, основные понятия о непрерывных группах симметрий и соответствующих алгебрах Ли инфинитезимальных преобразований.
• Уметь решать задачи о расчете эволюции для базовых моделей нерелятивистской классической механики (гармонический осциллятор, одномерная частица в потенциальном поле, задача Кеплера и др.).

Содержание учебной дисциплины

• Основные понятия ньютоновой механики
  Основные объекты и постановка задачи классической механики. Законы ньютоновой механики.
• Простейшие модели нерелятивистской механики: силы и связи
  Одномерные механические системы. Фазовые портреты. Механические модели со связями. Силы реакции и трения.
• Работа силы, потенциальные силы, закон сохранения энергии
  Работа силы. Потенциальные силы, условия потенциальности. Потенциальные силы в криволинейных координатах: полярные и сферические координаты.
• Задача двух тел и задача Кеплера
  Выделение движения центра масс. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса и 2-й закон Кеплера. Закон всемирного тяготения. Движение планет.
• Идеальные связи, принцип Даламбера, уравнения Эйлера-Лагранжа
  Виртуальные перемещения, идеальные связи, формулировка принципа Даламбера. Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. Преимущества и недостатки лагранжева формализма.
• Принцип наименьшего действия
  Вариационная задача. Принцип наименьшего действия. Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципа наименьшего действия. Вариационные задачи в геометрии и физике: примеры.
• Законы сохранения классической механики. Первая теорема Нётер
  Циклические координаты. Законы сохранения импульса, момента импульса. Закон сохранения энергии. Симметрии действия и законы сохранения. Первая теорема Э.Нётер.

Элементы контроля

• 5-минутка
• контрольная работа
• домашнее задание
• экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  Если накопленная в течение модуля оценка больше или равна 8, то она округляется до целых и выставляется студенту в качестве окончательной оценки за курс Если накопленная оценка меньше 8, то студент обязан сдать письменный экзамен. Экзамен оценивается по 10-балльной шкале. Оценка за экзамен должна быть не менее 4. Окончательная оценка за курс вычисляется, как результат округления до целых полусуммы накопленной оценки и оценки за экзамен.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Теоретическая физика. Т. 1: Механика, Ландау, Л. Д., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

• Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление : Учебник для вузов, Эльсгольц, Л. Э., 2000