Advanced Topics in Mathematical Physics

2020/2021

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

2

ECTS credits

Delivered at:

Faculty of Physics

Course type:

Compulsory course

When:

3 year, 1, 2 module

Instructors

Belan, Sergey

Lebedev, Vladimir

Parfenyev, Vladimir

Pikina, Elena

Программа дисциплины

Аннотация

В настоящем курсе обсуждаются математические задачи, возникающие в различных физических ситуациях, а также способы их решения. Курс продолжает курс «Математическая физика», читаемый на 2 курсе. В этой части курса приводятся основные сведения по нелинейным динамическим системам, включая теорию устойчивостей, решения солитонного типа и анализ интегрируемых уравнений. Даются основы теории групп Ли. Приводятся способы решения задач (усредненные уравнения, пограничный слой), важные с точки зрения приложений.

Цель освоения дисциплины

• формирование навыков обращения студентов с типичными математические задачами, которые возникают при исследовании физических проблем;
• изучение основ нелинейных динамических систем, включая теорию устойчивости;
• формирование навыков решения уравнения солитонного типа;
• формирование навыков анализа интегрируемых уравнений;
• изучение основ теории групп Ли.

Планируемые результаты обучения

• знает и умеет определить : Фиксированные точки и предельные циклы. Параметрическая неустойчивость. Бифуркации.
• умеет применять метод Винера-Хопфа
• знает основные понятия теории групп Ли и умеет применять на практике
• умеет применять метод усреднения для решения задач математической физики

Содержание учебной дисциплины

• Теория неустойчивостей.
  Фиксированные точки и предельные циклы. Параметрическая неустойчивость. Бифуркации.
• Интегральные уравнения.
  Уравнения Вольтерры. Теория уравнений Фредгольма. Метод Винера-Хопфа. Сингулярные интегральные уравнения.
• Группы Ли
  Инфинитезимальные преобразования, Алгебры Ли, Операторы Казимира. Восстановление группы по алгебре Ли. Неприводимые представления группы Ли.
• Отдельные вопросы.
  Автомодельное поведение. Метод усреднения и медленная эволюция. Пограничный слой.

Элементы контроля

• Контрольные работы
  Текущий контроль успеваемости по ходу семестра производится при помощи проведения 3 контрольных работ и выполнения домашних заданий. Накопленная оценка выставляется по формуле: Н=0.5 Дз+0.5 (Кр1+Кр2)/2, где Дз — средняя оценка за выполнение домашних заданий по ходу семестра, Кр1,Кр2 — оценки за выполнение контрольных работ. Все оценки выставляются по 10-бальной шкале, округление производится по арифметическим правилам (дробная часть меньше 0.5 округляется в меньшую сторону).
• Экзамен
  Округление производится в пользу студента (в большую сторону). Студенты, имеющие накопленную оценку 8, 9, 10 могут зачесть ее в качестве итоговой без экзамена
• Домашние задания
  Домашние задания состоят из решаемых еженедельно задач по теме соответствующих семинаров и лекций, решения представляются в письменном виде в установленный преподавателем срок. При представлении решений после установленного срока без уважительной причины соответствующее домашнее задание оценивается с весом 50%.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.35 * Домашние задания + 0.35 * Контрольные работы + 0.3 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Методы теории функций комплексного переменного : учеб. пособие для вузов, Лаврентьев, М. А., 1973

Рекомендуемая дополнительная литература

• Ильин А.М. - Уравнения математической физики - Издательство "Физматлит" - 2009 - 192с. - ISBN: 978-5-9221-1036-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2181
• Карчевский М.М., Павлова М.Ф. - Уравнения математической физики. Дополнительные главы - Издательство "Лань" - 2016 - 276с. - ISBN: 978-5-8114-2133-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/72983
• Сабитов К.Б. - Уравнения математической физики - Издательство "Физматлит" - 2013 - 352с. - ISBN: 978-5-9221-1483-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59660