• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site
Bachelor 2019/2020

Numerical Methods

Type: Compulsory course (Applied Mathematics)
Area of studies: Applied Mathematics
When: 4 year, 1 module
Mode of studies: distance learning
Language: English
ECTS credits: 2

Course Syllabus

Abstract

Numerical computations historically play a crucial role in natural sciences and engineering. These days however, it’s not only traditional «hard sciences»: whether you do digital humanities or biotechnology, whether you design novel materials or build artificial intelligence systems, virtually any quantitative work involves some amount of numerical computing . These days, you hardly ever implement the whole computation yourselves from scratch. We rely on libraries which package tried-and-tested, battle-hardened numerical primitives. It is vanishingly rare however that a library contains a single pre-packaged routine which does all what you need. Numerical computing involves assembling these building blocks into computational pipelines. This kind of work requires a general understanding of basic numerical methods, their strengths and weaknesses, their limitations and their failure modes. And this is exactly what this course is about. It is meant to be an introductory, foundational course in numerical analysis, with the focus on basic ideas. We will review and develop basic characteristics of numerical algorithms (convergence, approximation, stability, computational complexity and so on), and will illustrate them with several classic problems in numerical mathematics. You will also work on implementing abstract mathematical constructions into working prototypes of numerical code. Upon completion of this course, you will have an overview of the main ideas of numerical computing, and will have a solid foundation for reading up on and working with more advanced numerical needs of your specific subject area. As prerequisites for this course, we assume a basic command of college-level mathematics (linear algebra and calculus, mostly), and a basic level of programming proficiency. с использованием онлайн-курса Introduction to Numerical Analysis на платформе Coursera, https://www.coursera.org/learn/intro-to-numerical-analysis/
Learning Objectives

Learning Objectives

  • Освоение базовых знаний о численных методах, используемых в современной прикладной математике
  • Приобретение навыков работы в математических пакетах и с библиотеками математического программного обеспечения
Expected Learning Outcomes

Expected Learning Outcomes

  • Знание математические основы численных методов, применяемых в современных прикладных и фундаментальных исследованиях
  • Умение правильно выбирать тот или иной численный метод для решения конкретных математических задач
  • Навыки работы со стандартными математическими пакетами
Course Contents

Course Contents

  • Численное решение задачи Коши. Основные понятия и определения. Метод Эйлера.
    Постановка задачи Коши и ее геометрический смысл. Свойства задачи Коши: разрешимость, единственность, устойчивость. Дискретизация задачи Коши. Метод разложения в ряд Тейлора. Метод Эйлера. Понятие о локальной и глобальной погрешности. Оценка погрешности. Понятие одношаговых и многошаговых численных методов, устойчивость численных методов. Аппроксимация и сходимость. Устойчивость метода Эйлера на конечном отрезке. Модификации метода Эйлера. Методы Рунге Кутты. Правило Рунге оценки погрешностей. Организация программ с автоматическим выбором шага. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений и уравнений m-го порядка.
  • Численное решение задачи Коши. Устойчивость.
    Понятие о жестких задачах. Неявный метод Эйлера. Методы Адамса. Методы прогноза и коррекции. Устойчивость численных методов. Исследование устойчивости для систем линейных дифференциальных уравнений.
  • Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка.
    Постановка краевой задачи. Дискретизация задачи. Сетка, сеточные функции. Построение разностной схемы. Разрешимость. Использование метода прогонки. Оценка погрешности сеточного решения. Устойчивость, аппроксимация, сходимость. Основные свойства: разрешимость, принцип максимума, устойчивость. Проблема аппроксимации краевых условий. Метод пристрелки.
  • Основные понятия теории разностных схем.
    Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Корректность разностной схемы. Связь между устойчивостью и сходимостью.
  • Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности.
    Постановка начально-краевой задачи. Построение явной и неявных разностных схем для одномерной задачи теплопроводности. Устойчивость. Исследование сходимости разностных схем. Численная реализация разностных схем для уравнения теплопроводности.
  • Разностные схемы для одномерного волнового уравнения.
    Решение задачи о колебаниях струны. Построение разностных схем и исследование сходимости. Численная реализация разностных схем для волнового уравнения.
  • Вариационные и проекционные методы.
    Понятие о вариационных и проекционно-разностных методах решения краевых задач. Методы Ритца и Галеркина. Понятие о методе конечных элементов. Применение методов для многомерных задач.
Assessment Elements

Assessment Elements

  • non-blocking Экзамен
  • non-blocking Домашние задания
  • non-blocking Аудиторная работа
  • non-blocking Результирующая оценка за третий курс
  • non-blocking контрольно-измерительные материалы
    контрольно-измерительные материалы
Interim Assessment

Interim Assessment

  • Interim assessment (1 module)
    0.1 * Аудиторная работа + 0.2 * Домашние задания + 0.2 * Результирующая оценка за третий курс + 0.5 * Экзамен
Bibliography

Bibliography

Recommended Core Bibliography

  • Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособие для вузов, Амосов А. А., Дубинский Ю. А., 2003

Recommended Additional Bibliography

  • Higham, N. J., & Dennis, M. R. (2015). The Princeton Companion to Applied Mathematics. Princeton: Princeton University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1426583
  • Введение в численные методы : учеб. пособие для вузов, Самарский А. А., 1987
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин Н. Н., 2011