• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Topology and chaos in the dynamics of systems, foliations, and deformations of Lie algebras

Priority areas of development: mathematics
2018
The project has been carried out as part of the HSE Program of Fundamental Studies.

Прикреплённые файлы:
Результаты работы - Annotatsia_TZ-95_na_russkom_yazyke.docx (138.68 Kb)

Purpose

Development of methods for the qualitative theory of dynamical systems, including the construction of energy functions, topological classification, the inclusion of cascades in the flow, the search for stable arcs in the space of dynamical systems, the establishment of links between the dynamics of the system and the topology of the manifold, the algorithmization of distinguishing topological invariants. Development of new analytical and numerical methods for the study of pseudo-hyperbolic attractors, spiral quasi-attractors and mixed dynamics of multidimensional dissipative systems and their applications to specific models. Development of methods for the theory of deformations of modular Lie algebras and obtaining classification results for character algebras of characteristic 2. Development of methods for studying the qualitative behavior of foliations that are consistent with geometric structures. The study of the geometry of bundles, applications to dynamics. Development of the Chernov function calculus.

Methods

The development of topological methods in dynamics enriches both sciences - the qualitative theory of dynamical systems and topology. A remarkable example of such an interaction is the solution of one of the most important topological problems — the multidimensional Poincare hypothesis (in dimension greater than four). To solve this problem, S. Smale applied the theory of gradient dynamical systems induced by Morse functions. Namely, assuming that the manifold is a homotopy sphere, he proved that all critical points of a given Morse function can be successively removed and go to a function with exactly two critical points of index 0 and 1.

Using topological and geometric methods, the laboratory staff obtained deep results on the interrelation of the dynamic characteristics of flows and cascades with the topology of the manifold. The structure of manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms was studied depending on the intersection structure of invariant manifolds of saddle periodic points. The interrelation of investments of invariant manifolds with the existence of Lyapunov energy functions, etc., was discovered. These results were published in a number of leading foreign and domestic journals, which indicates their compliance with the world level. The obtained reserve will allow us to further develop the relevant topics described above.

Another major achievement of the modern theory of dynamic systems, in which the laboratory staff are also recognized experts, was the discovery of mixed dynamics, which characterizes the fundamental impossibility to separate the attractors of a dynamic system from repellers. Despite the fact that such a phenomenon was discovered quite recently, we have already managed to detect a number of systems from various applications that demonstrate mixed dynamics. Thus, the development of methods for the study of mixed dynamics is an urgent task from both theoretical and practical points of view.

Thanks to the strong algebraic-geometric cell of the laboratory, it is planned to extend the concept of chaos in dynamical systems in the sense of Divani to arbitrary foliations and investigate the problem of the existence of chaos for Cartan foliations, as well as to make advancements in the classification of simple Lie algebras over fields of small characteristic.

Results

Publications:


Grines V., Gurevich E., Zhuzhoma E. V., Medvedev V. On Topology of Manifolds Admitting a Gradient-Like Flow with a Prescribed Non-Wandering Set / Пер. с рус. // Siberian Advances in Mathematics. 2019. Vol. 29. No. 2. P. 116-127. doi
T. Medvedev, E. Nozhdrinova, O. Pochinka. On Periodic Data of Diffeomorphisms with One Saddle Orbit // Topology Proceedings. USA. 2019. Vol. 54. P. 49-68.
Кузнецов М., Чебочко Н. Г. ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРЫ ЛИ ТИПА A5 В ХАРАКТЕРИСТИКЕ 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. Т. 49. № 1. С. 49-55. doi
Гуревич Е. Я., Смирнова А. С. О структуре пространства орбит каскадов Морса-Смейла сферы // Динамические системы. 2018. Т. 2. № 15. С. 159-172.
Круглов В. Е. О числе модулей градиентных потоков функции высоты поверхности // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 419-428. doi
Pochinka O., Nozdrinova E., Логинова А. С. One-dimensional reaction-diffusion equations and simple source-sink arcs on a circle // Nelineinaya Dinamika. 2018. Vol. 14. No. 3. P. 325-330. doi
Чебочко Н. Г., Кузнецов М. Деформации алгебры Ли типа $\bar{A_5}$ в характеристике 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019
Долгоносова А. Ю., Жукова Н. И. О структуре групподиа голономии псевдориманова слоения // В кн.: Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 56: Лобачевские чтения-2018. Материалы семнадцатой молодежной школы-конференции. Каз. : Издательство Казанского математического общества и Академии наук РТ, 2018. С. 95-99.
V. Kruglov. Topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces // Динамические системы. 2018. Vol. 8(36). No. 1. P. 15-21.
Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 56: Лобачевские чтения-2018. Материалы семнадцатой молодежной школы-конференции. Каз. : Издательство Казанского математического общества и Академии наук РТ, 2018.
Исаенкова Н. В., Жужома Е. В. О соответствии базисных множеств А-эндоморфизмов и А-диффеоморфизмов // Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3. № 3. С. 295-310. doi
Гуревич Е. Я., Павлова Д. А. О вложении инвариантных многообразий простейших потоков Морса-Смейла с гетероклиническими пересечениями // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 378-383.
Починка О. В., Ноздринова Е. В., Колобянина А. Е. Современное изложение классификации грубых преобразований окружности // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 408-419. doi
Казаков А. О., Гонченко А. С., Гонченко С. В., Самылина Е. А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61
Казаков А. О., Леванова Т. А., Коротков А. Г., Осипов Г. В. Влияние электрической связи на динамику ансамбля нейроноподобных элементов с синаптическими тормозящими связями // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26. № 5. С. 101-112. doi
Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A., Козлов А. Д. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2018. Vol. 28. No. 11. P. 1830036-1-1830036-29. doi
L. Lerman (., E. Yakovlev. On interrelations between divergence-free and Hamiltonian dynamics // Journal of Geometry and Physics. 2019. Vol. 135. P. 70-79. doi
Починка О. В., Ноздринова Е. В. О динамике бифуркационных диффеоморфизмов простой дуги // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 1. С. 30-38.
T.V. Medvedev, O,V, Pochinka. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems // Dynamical Systems. 2018. Vol. 33. No. 4. P. 660-666. doi
Medvedev T. V., Medvedev V., Zhuzhoma E. V. Dynamics of one model of the fast kinematic dynamo // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 990. P. 1-9. doi
Яковлев Е. И., Епифанов В. Ю. Новые алгоритмы для вычисления базисов групп гомологий двумерных псевдомногообразий // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2018. № 2(46). С. 47-55. doi
Zhukova N. The existence of attractors of Weyl foliations modelled on pseudo-Riemannian manifolds // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 990. No. 1. P. 1-15. doi
E. I. Yakovlev, Chekmaryov D. T. Topological Methods in One Numerical Scheme of Solving Three-Dimensional Continuum Mechanics Problems / Пер. с рус. // Russian Mathematics. 2018. Vol. 62. No. 9. P. 72-85. doi
A. Yu. Dolgonosova, Zhukova N. Pseudo-Riemannian foliations and their graphs // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39. No. 1. P. 54-64. doi
K. I. Sheina, N. I. Zhukova. The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39. No. 2. P. 271-280. doi
Pochinka O., Nozdrinova E. A calculation of periodic data of surface diffeomorphisms with one saddle orbit // Proceedings of the International Geometry Center. 2018. Vol. 11. No. 2. P. 1-15.
Гринес В. З., Куренков Е. Д. Представление просторно расположенных совершенных аттракторов диффеоморфизмов геодезическими ламинациями // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 2. С. 159-174.
Казаков А. О., Козлов А. Д. Несимметричный аттрактор Лоренца как пример нового псевдогиперболического аттрактора в трехмерных системах // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 2. С. 187-198. doi
Kazakov A., Korotkov A. G., Levanova T. A., Osipov G. V. Chaotic regimes in the ensemble of FitzhHugh-Nagumo elements with weak couplings // IFAC-PapersOnLine. 2018