• A
  • A
  • A
  • ABC
  • ABC
  • ABC
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Regular version of the site

Mathematical Modeling of Resonance Systems

Priority areas of development: mathematics
2019
The project has been carried out as part of the HSE Program of Fundamental Studies.

Цель работы

Целью первой части работы является изучение новых квантовых явлений в микро- и наноструктурах, интересных с фундаментальной точки зрения и перспективных для приложений. В том числе, изучение возможностей реализации протоколов квантовой передачи данных на современных квантовых компьютерах, моделирование нетривиальных эффектов взаимодействия вещества с излучением на примере сверхпроводниковых систем, анализ сверхтекучих и люминесцентных свойств систем дипольных экситонов в условиях бозе-конденсации и куперовского спаривания, исследование электронных и фононных свойств слоистых электридов, исследование магнитоплазмонов на краях графена и анализ теоремы вириала и ее связи с квантовым давлением электронного газа в графене и других дираковских материалах.

Целью второй части работы является исследование спектра магнитного оператора Шредингера для резонансной квантовой системы с малым нарушением симметрии. В частности, исследование спектра частицы в сильном магнитном поле и периодическом в одном направлении и растущем в другом направлении электрическом поле. Планируется построить квазиклассическую асимптотику спектральных зон, возникающих при расщеплении уровней Ландау, исследовать эффективный квантовый оператор двумерного гамильтониана заряда в резонансной электромагнитной ловушке, который асимптотически описывает ангармоническую часть гамильтониана. Построить квазиклассическую асимптотику спектра и стационарных состояний этого оператора с учетом описания экспоненциально малых туннельных эффектов.

Целью третьей части работы является исследование квантового трехчастотного гиперболического резонансного осциллятора и его алгебры симметрий. Планируется построить конечный набор образующих алгебры симметрий с полиномиальными коммутационными соотношениями. Построить неприводимые представления этой алгебры и соответствующие когерентные состояния. Эта задача связана с объектами исследования в первом и втором разделах.

Целью четвертой части работы является получение в однопетлевом приближении точного выражения для аномального магнитного момента электрона в топологически массивной двумерной электродинамике в постоянном магнитном поле и исследование его динамической природы - зависимости от параметра Черна-Саймонса и инвариантного параметра синхротронного излучения.

Целью пятой части работы является исследование гидродинамических задач. Сначала исследуется задача о течении теплопроводной вязкой слабосжимаемой жидкости в поле силы тяжести в двумерном канале с нагреваемыми стенками с малыми периодическими неровностями на них при больших значениях числа Рейнольдса. Потом исследуется задача о течении вязкого сжимаемого газа (или жидкости) в аксиально-симметричной трубе с малыми периодическими неровностями на ее поверхности при больших значениях числа Рейнольдса. Также исследуется система уравнений газовой динамики без давления. Эта система упоминается в литературе в двух аспектах. В перовом – как модель, описывающая распределение плотности в разреженных пылевых облаках, в частности, в модели Арнольда-Зельдовича-Шандарина, описывающей распределение массы во вселенной. Другой аспект – новый класс открытых для этих уравнений решений, более сингулярных, чем известные до этого в уравнениях газовой (гидро) динамики ударных волн. Эти новые решения (дельа -ударные волны) устроены так, что для их определения нельзя использовать классические интегральные тождества, определяющие ударные волны.  Целью работы было построение и исследование пределов кусочно-постоянных аппроксимаций решений задачи Коши.

Целью шестой части работы было исследование экспоненциальных случайных графов – семейства моделей, изначально предложенных для анализа и моделирования социальных сетей. Вероятность определенной конфигурации графа экспоненциально зависит от числа определенных подграфов (мотивов) в сети. Такая модель, по существу, описывает канонический ансамбль случайных сетей с заданным числом вершин. Планировалось изучение критических явлений в сетевых структурах, включающих в себя широкий спектр явлений (форм поведений): структурные изменения в сетях, возникновение критического состояния – безмасштабной сетевой архитектуры, разнообразные перколяционные явления (например, возникновение эпидемиологического порога), критические точки в различных оптимизационных проблемах и многие другие. Многие из этих критических явлений тесно связаны между собой, имеют сходную природу и допускают универсальное описание.

Используемые методы

Экспериментальное моделирование протоколов квантовой передачи данных проводилось удаленно на квантовых процессорах IBMqx4 и IBMqx5, моделирование связанной системы бозе-конденсатов светлых и темных экситонов проводилось при помощи диаграммной техники Беляева и обобщенных на двухкомпонентную систему преобразований Боголюбова, исследование спинового эффекта Холла для поляритонов проводилось при помощи диагонализации гамильтониана экситон-фотонной системы во внешних полях и решения транспортных уравнений, пленение излучения и сверхизлучение в сверхпроводниковой системе моделировались численным решением уравнения Линдблада, расчет электронных и фононных свойств слоистого электрида проводился методом функционала плотности с использованием метода присоединенных плоских волн. Анализ свойств краевых магнитоплазмонов на графене проводился при помощи метода Винера-Хопфа, использованного для решения электромагнитной задачи, и самосогласованного борновского приближения, использованного для расчета проводимости. Сверхтекучесть двухслойной электрон-дырочной системы изучалась в приближении среднего поля, а обобщенная квантовая теорема вириала для дираковских материалов анализировалась при помощи аппарата обобщенных токов и метода масштабных преобразований.

В задаче о квантовых резонансно-интегрируемых системах с малыми нарушениями симметрии применяются общие методы алгебраического усреднения операторов для получения эффективных квантовых гамильтонианов, которые описывают нарушения симметрии, а также методы ВКБ для дифференциальных и разностных уравнений для квазиклассического анализа спектра полученных операторов.

Для построения формальных асимптотических решений многомасштабных задач гидродинамики с периодическими возмущениями используется разработанный ранее подход, основанный на комбинации метода погранслойного разложения и метода осреднения. Численное моделирование течений в пристеночной области основано на конечно-разностном подходе. При исследовании систем газовой динамики без давления использован метод слабых асимптотик для описания взаимодействия устойчивых и неустойчивых элементарных -ударных волн и методы функционального анализа (свойства функций ограниченной вариации) для исследования предельных решений.

Для анализа и моделирования сложных сетей были использованы методы современной статистической физики. Для компьютерного моделирования мы применяли вероятностные методы Монте-Карло, различные алгоритмы на графах, алгоритмы поиска сообществ в графах (методы Ньюмана, спектральный анализ), алгоритмы хранения и работы с большими данными, различные алгоритмы визуализации сетей. Для теоретических оценок был использован стандартный набор методов статистической физики, включающий метод производящей функции, приближение среднего поля, кластерный анализ, теорию случайных матриц.

Эмпирическая база исследования

В качестве эмпирической базы использовались результаты исследований по тематике проекта, опубликованные в мировой научной литературе. Для экспериментальной проверки полученных результатов удаленно использовались квантовые процессоры IBMqx4 и IBMqx5.

Результаты работы

В первой части работы, на примере квантовых компьютеров IBM показана перспективность моделирования протоколов квантовой передачи данных для выявления ограничений на работу квантовых компьютеров. Продемонстрирована возможность исследования бозе-конденсата темных экситонов косвенно через посредство взаимодействующего с ним бозе-конденсата светлых экситонов. Предсказан спиновый эффект Холла для экситонов в двумерных дихалькогенидах переходных металлов в поле двух противонаправленных лазерных лучей. Предсказана возможность реализации эффектов пленения излучения и сверхизлучения в одной системе сверхпроводниковых кубитов, связанных с резонатором. Исследованы электронные и фононные свойства слоистого электрида, предсказана сильная анизотропия его сопротивления. Построена теория магнитоплазмонов на краях графена, объясняющая подавление скорости их распространения при наличии диссипации и экранирования. Предсказана возможность управления сверхтекучестью в системе пространственно разделенных электронов и дырок при помощи внешнего периодического потенциала. Получены обобщенные теоремы вириала и Гельмана-Фейнмана для дираковских материалов и показано, что в таких материалах термодинамическое и кинетическое давления электронного газа различаются за счет аномального вклада.

Во второй части работы рассмотрен спектр квантовых резонансных гамильтонианов с малыми нарушениями симметрии, на примере двух классов двумерных магнитных операторов Шредингера. Для частицы в сильном магнитном поле и периодическом в одном направлении и растущем в другом направлении электрическом поле исследована квазиклассическая асимптотика спектральных зон, возникающих при расщеплении уровней Ландау. Получены асимптотики экспоненциально малых зон и лакун в спектре оператора. Построены асимптотики дисперсионных соотношений для низких и высоких уровней Ландау. Для двумерного квантового гамильтониана заряда в резонансной электромагнитной ловушке, получен эффективный квантовый оператор, который асимптотически описывает ангармоническую часть гамильтониана. Построено представление квантовых координат действие-угол, в которых эффективный оператор становится разностным оператором второго порядка. Получена квазиклассическая асимптотика спектра и стационарных состояний этого оператора с учетом описания экспоненциально малых туннельных эффектов.

В третьей части работы исследована алгебра симметрий квантового трехчастотного гиперболического резонансного осциллятора. Показано, что она задается конечным набором образующих с полиномиальными коммутационными соотношениями. Построены неприводимые представления этой алгебры и соответствующие когерентные состояния.

В четвертой части работы полученоаналитическое выражение для аномального магнитного момента электрона и впервые установленные на основе его анализа количественные и качественные результаты о роли магнитного поля и параметра Черна-Саймонса при исследовании энергии взаимодействия аномального магнитного момента электрона с внешним магнитным полем в двумерной квантовой электродинамике.

В пятой части работы получена система уравнений, описывающая конвективное течение слобосжимаемой жидкости в пристеночной области в канале с периодическими неровностями на нагреваемых стенках. Построено формальное асимптотическое решение о течении сжимаемого газа (или жидкости) в аксимально-симметричной трубе с периодическими неровностями на стенке. Проведено численное моделирование пристеночных течений, исследована зависимость характера течения от плотности основного потока. Построены глобальная по времени аппроксимация решений системы уравнений газовой динамики без давления в виде кусочно-постоянных функций с точечными массами в точках скачков. Исследованы пределы таких аппроксимаций. Доказана теорема существования и единственности решения системы уравнений газовой динамики с кусочно Липшиц непрерывными начальными условиями. Показано, что решения задачи Коши для рассматриваемой системы не обладают полугрупповым свойством.

В шестой части работы обнаружен сильный эффект конечного размера в экспоненциальных моделях. Численное моделирование позволило установить существование критического размера системы, зависящего от плотности случайного графа.  Для систем, размер которых превосходит критическое значение, наблюдается кроссовер от случайной конфигурации графа к ранее ненаблюдаемой кластеризованной конфигурации. Такая конфигурация характеризуется формированием хабов – вершин с максимально возможною степенью и «паром» - слабым взаимодействий оставшихся вершин друг с другом. Предполагается, что формирование такой структуры обусловлен энтропийной ловушкой хабов. Была построена модель экспоненциальных случайных графов с различными топологическими ограничениями и четырехвершинным взаимодействием. Исследованы спектральные свойства кластеризованных состояний в экспоненциальных случайных графах, в частности были построены статистики расстояний между соседними собственными значениями. Исследование такой статистики обеспечивает идентификацию локализации возбуждений для динамики одной частицы в пространстве

Степень внедрения, рекомендации по внедрению или итоги внедрения результатов НИР

Разработанная методика моделирования протоколов квантовой передачи данных может использоваться для глубокого тестирования возможностей современных и будущих квантовых компьютеров. Данные проведенного анализа электронных и фононных свойств слоистого электрида могут использоваться при разработке электронных устройств нового поколения. Построенная теория краевых магнитоплазмонов на графене может использоваться для разработки плазмонных цепей. Предсказанная возможность управления электрон-дырочной сверхтекучестью внешним периодическим потенциалом может использоваться для увеличения критической температуры перехода такой системы в сверхтекучее состояние. Результаты исследования резонансных квантовых систем могут быть применены при моделировании и разработке квантовых и нано-электронных устройств. Результаты исследования течения жидкости в каналах и трубах с нагреваемыми шероховатыми стенками могут быть использованы при исследовании различных процессов гидро- и газовой динамики и биомеханике.

Publications:


Gaydukov R., Danilov V. Multideck structures of boundary layers in compressible flows, in: Proceedings of the International Conference DAYS on DIFFRACTION 2019. IEEE, 2019. P. 51-56. doi
Novikova E. Algebra of Symmetries of Three-Frequency Hyperbolic Resonance // Mathematical notes. 2019. Vol. 106. No. 6. P. 940-956. doi
Alexey A. Sokolik, Zavolotskiy A. D., Yurii E. Lozovik. Virial theorem, boundary conditions, and pressure for massless Dirac electrons // Annals of Physics. 2020. Vol. 412. P. 168001-1-168001-19. doi
D. A. Vakhrameeva, A. V. Pereskokov. Asymptotics of the spectrum of a two-dimensional Hartree-type operator with Coulomb self-action potential near the lower boundaries of spectral clusters / Пер. с рус. // Theoretical and Mathematical Physics. 2019. Vol. 199. No. 3. P. 864-877. doi
Berman O. L., Kezerashvili R. Y., Yurii E. Lozovik, Ziegler K. G. Electron-hole superfluidity controlled by a periodic potential // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2019. Vol. 100. No. 13. P. 134514-1-134514-8. doi
Voronova N. S., Yurii E. Lozovik. Anisotropic Superfluidity in a Weakly Interacting Condensate of Quasi-2D Photons, in: Proceedings of 34th International Conference on the Physics of Semiconductors (ICPS) "Advances in Physics of Semiconductors". Weinheim : Wiley-VCH, 2019. doi P. 1800431-1-1800431-8. doi
Voronova N. S., Kurbakov I. L., Yurii E. Lozovik. Photonic engineering providing conditions for direct exciton macroscopic coherence at elevated temperatures, in: Proceedings of SPIE, Volume 10912, Physics and Simulation of Optoelectronic Devices XXVII. Bellingham : SPIE, 2019. doi P. 1091205-1-1091205-17. doi
Фонарева А. В. Асимптотика решения задачи о течении сжимаемой жидкости (газа) внутри трубы с малыми периодическими неровностями при больших числах Рейнольдса // В кн.: Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2019» / Отв. ред.: И. Алешковский, А. Андриянов, Е. Антипов. М. : МГУ, МАКС Пресс, 2019. С. 1-2.
Vybornyi E. On discrete WKB methods for resonance electromagnetic traps, in: Proceedings of the International Conference DAYS on DIFFRACTION 2019. IEEE, 2019.
Гайдуков Р. К., Данилов В. Г. Многопалубные структуры в задачах обтекания поверхностей с малыми периодическими возмущениями // В кн.: XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 2: Механика жидкости и газа. Уфа : РИЦ БашГУ, 2019. doi С. 92-94.
Pospelov N., Nechaev S., Anokhin K., Valba O. V., Avetisov V., Gorsky A. Spectral peculiarity and criticality of a human connectome // Physics of Life Reviews. 2019. P. 1-24. doi
Nechaev S., Gorsky A., Avetisov V., Valba O. V. Localization and non-ergodicity in clustered random networks // Journal of Complex Networks. 2019. P. 1-17. doi
Remizov S. V., Zhukov A. A., Pogosov W. V., Yu E Lozovik. Radiation trapping effect versus superradiance in quantum simulation of light-matter interaction // Laser Physics Letters. 2019. Vol. 16. P. 065205-1-065205-8. doi
Alexey A. Sokolik, Yurii E. Lozovik. Edge magnetoplasmons in graphene: Effects of gate screening and dissipation // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2019. Vol. 100. No. 12. P. 125409-1-125409-8. doi
Anikin A., Brüning J., Dobrokhotov S., Vybornyi E. Averaging and spectral bands for 2-D magnetic Schrödinger operator with the growing and one-direction periodic potential // Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 26. No. 3. P. 265-276. doi
Danilov V. G. Interaction of δ-Shock Waves in a System of Pressureless Gas Dynamics Equations // Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 26. No. 3. P. 306-319. doi
Gaydukov R. K., Fonareva A. V. A Compressible Fluid Flow with Double-Deck Structure Inside an Axially Symmetric Wavy-Wall Pipe // Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 26. No. 3. P. 334-343. doi
Zhukov A. A., Kiktenko E. O., Elistratov A. A., Pogosov W. V., Yu. E. Lozovik. Quantum communication protocols as a benchmark for programmable quantum computers // Quantum Information Processing. 2019. Vol. 18. P. 31-1-31-23. doi
Mavrin B. N., Perminova M. E., Yu.E. Lozovik. Electron-phonon interaction, phonon and electronic structures of layered electride Ca2N // JETP Letters. 2019. Vol. 109. No. 9. P. 627-628. doi
Berman O. L., Kezerashvili R. Y., Yurii E. Lozovik. Spin Hall effect for polaritons in a transition metal dichalcogenide embedded in a microcavity // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2019. Vol. 99. No. 08-5438. P. 085438-1-085438-11. doi
Asriyan N. A., Kurbakov I. L., Fedorov A. K., Yu. E. Lozovik. Optical probing in a bilayer dark-bright condensate system // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2019. Vol. 99. No. 08-5108. P. 085108-1-085108-8. doi