• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Магистерская программа «Математические методы моделирования и компьютерные технологии»

Аннотации дисциплин программы

Дисциплины для выбора траектории обучения


Аннотации дисциплин

Анализ нелинейных и многофазных процессов.

Данилов Владимир Григорьевич

Департамент прикладной математики: Профессор

Методы анализа линейных систем развиты досконально. Но нелинейные системы, где нет обычного принципа суперпозиции, это, в общем случае, при наличии дисперсии почти непреодолимая задача для математики. Только для некоторых специальных однородных (с постоянными коэффициентами) нелинейных задач метод аналитического решения был недавно, в конце XX века, открыт и это вызвало огромный бум в математической теории. Но в присутствии неоднородности (переменных коэффициентов) и этот метод не работает.

Незнание законов суперпозиции серьезно затрудняет математическое моделирование тех нелинейных процессов, в которых существенную роль играет распространение и взаимодействие волн. Таких процессов очень много, например, возникновение и перемещение границы раздела фаз “твердое вещество” – “жидкость”,  динамика популяций, распространение импульсов по нервным волокнам, образование пробок в дорожном движении и т.д. Для задач такого типа, уже совсем недавно, в последние два десятилетия, был разработан метод «слабых асимптотик».

Оказалось, что при наличии в нелинейной системе малых параметров удается, хоть и асимптотически по этим параметрам, но зато вполне конструктивно находить законы нелинейной суперпозиции и эффективно исследовать математические модели указанных выше и других нелинейных волновых процессов, в том числе, в неоднородных средах. Это продвигает возможности математического моделирования нелинейных систем на качественно новый уровень, а совместно с применением компьютерных расчетов создает прорыв в большом числе старых и трудных проблем, важных для развития новых технологий.

В данном курсе на максимально простом уровне обсуждаются перечисленные явления,  излагаются основные идеи и алгоритмы новых, конструктивных методов математического моделирования нелинейных процессов.

Статистические методы, хаос и параметры порядка.

Тамм Михаил Владимирович

Департамент прикладной математики: Доцент; с.н.с. Наноцентр МГУ

В последние десятилетия статистические методы, развитые изначально в механике, нашли широкое применение в целом ряде областей науки, как смежных с физикой (биофизика, химическая физика, астрофизика и космология), так и на, первый взгляд, далеких от нее (теория вероятностей, компьютерные науки, количественная география, науки об обществе). Идеи статистического описания, связывающего крупномасштабное коллективное поведение систем с простыми микроскопическими свойствами их элементов,  оказывается чрезвычайно плодотворной, в частности, для понимания ряда задач компьютерных наук, таких как теория алгоритмов, задачи перечисления объектов, вычислительные задачи на решетках и больших случайных графах. Курс сочетает обсуждение базовых принципов и понятий статистической теории, таких как равновесие, энтропия, температура, фазовые переходы, самоподобие, параметры порядка, лежащих на стыке теоретической механики и теории вероятностей, с разбором широкого круга конкретных прикладных задач, иллюстрирующих применение этих базовых принципов.

В курсе рассматриваются:

  • теория случайных блужданий как простейший пример возникновения коллективного поведения и самоподобия в статистических системах;
  • основы равновесной статистики: понятие о равновесии, температуре, распределении Гиббса, статистической сумме;
  • понятие энтропии, его механический и теоретико-вероятностный смысл, принцип роста энтропии;
  • фазовые переходы, теория перколяции, понятие о геометрических фазовых переходах, параметры порядка, масштабирование (скейлинг), критические индексы;
  • системы случайных логических уравнений, переход совместность-несовместность, особенности поведения вблизи точки перехода;
  • неравновесные марковские процессы, кинетическое уравнение, применение к задачам трафика (однополосного дорожного движения), понятие о фазовых переходах в неравновесных системах;
  • случайные сети, формирование гигантского кластера в случайных сетях, тесные миры, динамические модели сетей (преимущественное присоединение), динамические процессы на сетях (распространение сигналов, эпидемий);

Курс в большой степени основан на недавнем учебнике: Дж. Сетна "Статистическая механика: энтропия, параметры порядка, теория сложности" (Корнельский университет, США), на курсе С.Реднера в Бостонском университете и курсе "Statistical Mechanics: Algorithms and Computations", читаемом в Эколь Нормаль в Париже.

Модели молекулярных машин, сети и фракталы.

Аветисов Владик Аванесович

Департамент прикладной математики: Профессор; зав. лаб. ИФХ РАН

Молекулярная машина способна превращать подаваемую извне энергию в нечто похожее на механическое движение. Если на совсем малых атомных масштабах все "трясется и дергается" и никакой механики нет вообще, то на нано-масштабах уже возможна квазимеханика – направленное смещение молекулярных фрагментов. Молекулярные машины – это машины предельно малого размера.  Обычная химия – это "конструктор", который занимается сборкой молекул, когда все "трясется и дергается". Успеха он добивается за счет большого числа попыток - порядка число Авогадро. Это большое число, и если, скажем, из миллиона попыток только одна удачная, то результат будет все равно видимым. Но рассчитывать на случай можно только при сборке не слишком сложных молекул. Если требуется собрать большую структуру, в которой молекулы нескольких сортов должны быть расставлены строго определенным образом, то не спасает даже число Авогадро. Выход: собирать точно, исключая ошибки на каждом шаге.  Это и должны делать молекулярные машины. С их помощью можно "стохастическую” химию заменить на "алгоритмическую” химию и собирать молекулярные структуры с невиданными характеристиками.

С темой молекулярных машин можно ознакомиться по ссылкам  http://polit.ru/article/2014/02/17/avetisov/ и http://www.forbes.ru/mneniya-opinion/idei/276085-kak-sobrat-mashinu-iz-molekul.

Молекулярная машина – это фрактальная, в определенном смысле, структура, а у которой сетевой граф, представляющий ее архитектуру, должен иметь определенные топологические характеристики.  Динамика молекулярной машины моделируется случайными процессами на древообразных графах, а описываются такие процессы с помощью р-адического математического анализа, который сложился совсем недавно. Использовать этот аппарат удобно тогда, когда объекты организованы иерархично и самоподобно. Эта “философия" сейчас находит подобающее место также в экономике, социологии, логистике и пр. Одна из целей курса: показать как нетривиальные идеи выводят исследователя не стык различных математических (и не только) дисциплин.

От слушателей курса требуются знания только начальных математических и физических понятий.

Математические модели квантовой информатики.

Холево Александр Семенович

Департамент прикладной математики: Профессор; зав.отделом МИАН

В середине XX века произошли два революционные научные открытия, которые по существу предопределили облик современного мира в той важнейшей его части, которая касается процессов хранения, обработки и передачи информации. Это - изобретение транзистора, открывшее путь к микроминиатюризации и радикальному снижению материальных и энергетических затрат при создании систем обработки информации, и создание математических основ теории информации, заложивших принципы рационального и помехоустойчивого дизайна таких систем и обрабатываемых ими массивов данных.

В настоящее время происходит создание теоретических и экспериментальных основ квантовой информатики. Построены демонстрационные системы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования. Обсуждается идея квантового компьютера, сулящая в перспективе немыслимые ранее возможности. Принципы квантовой криптографии доведены до практического воплощения. Квантовая информатика дает ключ к пониманию фундаментальных закономерностей Природы, до недавних пор остававшихся вне поля зрения исследователей, а также стимулирует развитие экспериментальной физики, значительно расширяющее возможности целенаправленного манипулирования состояниями микросистем и потенциально важное для новых эффективных приложений.

В настоящее время работы в области квантовой информатики  ведутся в передовых научно-исследовательских центрах всех развитых стран, и востребованность грамотных специалистов в этой актуальной области весьма высока.

Предлагаемый курс лекций, опирающийся на знание основ линейной алгебры, функционального анализа и теории вероятностей, посвящен математическим моделям квантовой информатики.

Компьютерная молекулярная биология и медицина.

Ефремов Роман Гербертович

Департамент прикладной математики: Профессор; зам. директора и зав. лабораторией моделирования биомолекулярных систем ИБХ РАН

Дисциплина нацелена на слушателей, интересующихся разработкой и применением новейших методов математического компьютерного моделирования для анализа на молекулярном уровне интереснейших явлений, происходящих в живой клетке. Студенты знакомятся с самыми современными технологиями изучения биомолекулярных систем in silico (от лат. «в кремнии», т.е. на компьютере). Используемые методы компьютерного моделирования сегодня являются неотъемлемыми партнерами экспериментальных подходов биомедицины – биофизики, биохимии, молекулярной и клеточной биологии, фармакологии и др. В рамках настоящего курса будут рассмотрены основные физические модели и математические алгоритмы, описывающие структуру, динамику и функции важнейших представителей биологических систем - молекул белков, биомембран и белок-мембранных комплексов. Большое внимание уделено тестированию и реализации на суперкомпьютерах современных математических моделей, описывающих поведение  мезоскопических биомолекулярных систем, которые могут содержать до десятков миллионов частиц. Помимо лекций, будут проводиться лабораторные занятия, в ходе которых студенты познакомятся с наиболее мощными современными программами молекулярного моделирования. Одними из интересных и сложных для эксперимента объектов являются клеточные мембраны (включая внедренные в них белки). Они представляют собой наиболее перспективный класс фармакологических мишеней, на которые должно быть направлено действие лекарств нового поколения. Таким образом, рассматриваемые проблемы находятся на переднем крае научных исследований в мире.

Среди вопросов, которые будут обсуждаться в рамках курса:

  • Как устроены и как работают белки и клеточные мембраны на уровне отдельных молекул?
  • Можно ли на компьютере смоделировать процессы функционирования этих систем?
  • Как компьютерная биология помогает в создании совершенно новых классов лекарств?

Возможности рассмотренных методов молекулярного моделирования иллюстрируются на примерах реальных научных проблем, решаемых в Лаборатории моделирования биомолекулярных систем Института биоорганической химии Российской академии наук (ИБХ РАН).

Атомистическое моделирование и суперкомпьютеры.

Морозов Игорь Владимирович

Департамент прикладной математики: Доцент; зав. лаб. ОИВТ РАН; доцент МФТИ

Курс ориентирован на студентов, интересующихся новыми методами программирования, высокопроизводительными вычислениями, компьютерным моделированием.В рамках курса изучаются детали архитектуры и программного обеспечения современных суперкомпьютеров, технологии параллельного программирования для многоядерных серверов, вычислительных кластеров, графических ускорителей, специализированных вычислительных устройств и Грид-систем. Рассматриваются особенности использования суперкомпьютеров для решения различных задач математического моделирования, в первую очередь, на примере методов атомистического моделирования: молекулярной динамики и Монте-Карло. С использованием пакетов классической молекулярной динамики изучаются методы решения уравнений движения и способы определения термодинамических параметров. В случае квантовой молекулярной динамики даются общие сведения об используемых приближенных методах, в частности, рассматриваются метод функционала плотности и молекулярная динамика с волновыми пакетами.

Возможности рассмотренных методов иллюстрируются на примерах реальных исследований, проводимых в ОИВТ РАН.Лекции сопровождаются практическими занятиями на вычислительном кластере, в результате которых студенты получают навыки создания параллельных программ и работы с основными пакетам атомистического моделирования.

Многомасштабное компьютерное моделирование.

Стегйлов Владимир Владимирович

Департамент прикладной математики: Профессор; зав. лаб. ОИВТ РАН; профессор МФТИ

Курс рассказывает о методах моделирования материалов и процессов в плотных средах, включая биомолекулярные задачи. Эти методы основаны на общем фундаменте статистической теории, в рамках которого строятся базовые математические модели. Однако, реальное использование данных моделей невозможно без привлечения современных высокопроизводительных суперкомпьютерных ресурсов.

Возникает проблема: как эффективно превратить процессорные гигагерцы и Флопсы в решение конкретной прикладной задачи. Ответить на этот вопрос можно, только поняв соответствующие численные алгоритмы (методы сортировки, методы линейной алгебры, методы многомерных преобразований Фурье), принципы параллельного программирования, архитектуру современных суперкомпьютеров, технологии computer science в области high performance computing и big data. В курсе будут рассмотрены как  общие вопросы в данной области, так и специфические особенности работы с конкретными моделями.

Отдельной важной темой является сопряжение различных пространственно-временных масштабов, что с технической стороны задачи соответствует задачам организации data flow. Будут рассмотрены  примеры смычки масштабных уровней, как по пространству, так и по времени, с применением грид-технологий и облачных вычислений.

Методы моделирования наносистем. Нанороботы.

Лозовик Юрий Ефремович

Департамент прикладной математики: Профессор; зав. лабораторией наноструктур ИСАН; профессор МФТИ

Курс направлен на глубокое и наглядное изучение основных понятий и явлений в наносистемах, наиболее важных как с концептуальной, так и с прикладной точек зрения.  Курс включает в себя, в том числе, описание последних, наиболее интересных и перспективных достижений, увенчанных Нобелевскими и другими престижными премиями; например,  – открытие и парадоксальные свойства графена, и совсем недавнее открытие и изучение замечательных свойств топологических изоляторов. Анализируются тенденции современных нанотехнологий и основные принципы проектирования и математического моделирования  наноструктур.

Цель и задачи курса – глубокое и наглядное освоение понятий и самых важных эффектов, возникающих в наносистемах, понимание эвристики важнейших научных открытий, ценности физических аналогий,  умение делать простые и быстрые оценки критических параметров для различных эффектов и задач.

В курсе обсуждаются красивые математические особенности низкоразмерных систем. Обсуждаются парадоксы, современные достижения  и перспективы применения  принципиально новых материалов   -  двумерных мембран. Обсуждаются достижения в дизайне и компьютерном моделировании нанороботов.

Модели коллективных и топологических эффектов.

Соколик Алексей Алексеевич

Департамент прикладной математики: Доцент; с.н.с. ИСАН; доцент МФТИ

В последние десятилетие произошло, по-существу, качественное изменение методов математического моделирования квантовых явлений, которое стало активно использовать язык геометрических и топологических образов. В значительной степени этот скачок мотивирован бурно развивающимися исследованиями новых наноматералов, таких как графен, топологические изоляторы, дираковские и вейлевские полуметаллы. Электроны в них обладают нулевой эффективной массой и нетривиальной топологией квантовых состояний. Основные математические модели, объясняющие механизмы возникновения абсолютно необычных свойств таких материалов, будут разобраны в первой части курса.

Вторая часть курса посвящена моделированию коллективных явлений - квантовых вихрей (топологических дефектов), в частности, в сверхтекучих системах и сверхпроводниках, например, в высокотемпературных сверхпроводниках, важных для перспективных технологий. Обсуждаются вихревые решетки, вихревые кристаллы, молекулы. Помимо этого рассмотрены вихри в топологических сверхпроводниках. Такие состояния являются своими собственными античастицами и могут использоваться для устойчивых к ошибкам квантовых вычислений.

Курс носит в достаточной степени ознакомительный, методологический характер. Для его понимания достаточно знакомства со стандартным математическим анализом и базовых знаний из физики.