Симметрии, представления и комплексный анализ

2021/2022

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

1-й курс, 1, 2 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Симметрии, представления и комплексный анализ» знакомит студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях. В рамках курса изучаются методы исследования этих алгебр. Для квантовых алгебр изучается конструкция неприводимых представлений в гильбертовых пространствах полиномов и соответствующие когерентные состояния. Для пуассоновых алгебр проводится анализ симплектических листов. На модельных примерах демонстрируется метод решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования, т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях, методами исследования этих алгебр (построением неприводимых представлений и когерентных состояний для квантовых алгебр; анализом симплектических листов для соответствующих пуассоновых алгебр), методом решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования (т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние).

Планируемые результаты обучения

• Владеет навыками вычисления коммутаторов дифференциальных операторов и простейшими методами поиска симметрий.
• Знает наиболее известные интегрируемые системы и соответствующие алгебры симметрий.
• Знает схему метода когерентного преобразования.
• Умеет разыскивать операторы Казимира в алгебрах со структурой "рождение-уничтожение".
• Умеет строить неприводимые представления и когерентные состояния алгебр со структурой "рождение-уничтожение".

Содержание учебной дисциплины

• Алгебры симметрий
• Пуассонова структура и неприводимые представления динамической алгебры
• Когерентное преобразование

Элементы контроля

• Домашнее задание
• Работа на семинаре
• Экзамен
• Контрольно-измерительные материалы

Промежуточная аттестация

• 2021/2022 учебный год 2 модуль
  0.2 * Работа на семинаре + 0.2 * Домашнее задание + 0.6 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Tapp K. Symmetry A Mathematical Exploration// Springer // https://www.springer.com/gp/book/9781461402985#otherversion=9781461402992
• Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Карасев, М. В., 1991
• Элементы теории представлений, Кириллов, А. А., 1978

Рекомендуемая дополнительная литература

• Aydın Aytuna, Reinhold Meise, Tosun Terzioğlu, & Dietmar Vogt. (2011). Functional Analysis and Complex Analysis. [N.p.]: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=974875
• Метод вторичного квантования, Березин, Ф. А., 1965