• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Анализ нелинейных и многофазных процессов

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 3, 4 модуль

Программа дисциплины

Аннотация

Методы анализа линейных систем развиты досконально. Но нелинейные системы, где нет обычного принципа суперпозиции, это, в общем случае, при наличии дисперсии почти непреодолимая задача для математики. Только для некоторых специальных однородных (с постоянными коэффициентами) нелинейных задач метод аналитического решения был недавно, в конце XX века, открыт и это вызвало огромный бум в математической теории. Но в присутствии неоднородности (переменных коэффициентов) и этот метод не работает. Незнание законов суперпозиции серьезно затрудняет математическое моделирование тех нелинейных процессов, в которых существенную роль играет распространение и взаимодействие волн. Таких процессов очень много, например, возникновение и перемещение границы раздела фаз “твердое вещество” – “жидкость”, динамика популяций, распространение импульсов по нервным волокнам, образование пробок в дорожном движении и т.д. Для задач такого типа, уже совсем недавно, в последние два десятилетия, был разработан метод «слабых асимптотик». Оказалось, что при наличии в нелинейной системе малых параметров удается, хоть и асимптотически по этим параметрам, но зато вполне конструктивно находить законы нелинейной суперпозиции и эффективно исследовать математические модели указанных выше и других нелинейных волновых процессов, в том числе, в неоднородных средах. Это продвигает возможности математического моделирования нелинейных систем на качественно новый уровень, а совместно с применением компьютерных расчетов создает прорыв в большом числе старых и трудных проблем, важных для развития новых технологий. В данном курсе на максимально простом уровне обсуждаются перечисленные явления, излагаются основные идеи и алгоритмы новых, конструктивных методов математического моделирования нелинейных процессов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • освоение основных нелинейных эволюционных моделей математической физики, понятия обобщенного решения, метода характеристик и его обобщения
  • знание свойств, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метода обратной задачи рассеяния, метода слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метода регуляризации
  • умение исследовать уравнения с частными производными первого порядка, построение решения уравнения неразрывности вразрывном поле скоростей, описание распространения и взаимодействия уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, системы фазового поля и ее аналогов; умение с помощью метода обобщенных характеристик строить решения прямой и обратной задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • знать основные математические модели и методы анализа данных
  • уметь строить и оценивать формализованные математические модели, оценивать данные, выявлять закономерности в них, визуализировать результаты анализа данных
  • владеть математическим аппаратом анализа данных и принятия решений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка («скалярные законы сохранения»)
    Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса-Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова. Уравнение Бюргерса. Задача о взаимодействии сглаженных ударных волн. Преобразование Хопфа-Коула. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Негладкие решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их связь с обобщенными решениями «законов сохранения» в одномерном случае. Построение негладких решений уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана методом характеристик
  • Метод слабых асимптотик
    Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо. Нелинейные законы суперпозиции. Взаимодействие сглаженных ударных волн для уравнений типа Бюргерса. Рождение ударных волн как результат взаимодействия слабых разрывов. Распад неустойчивой ударной волны. Взаимодействие ударной волны и волны разряжения в одномерном случае. Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Концентрация массы на подмногообразиях положительной коразмерности. Дельта-ударные волны: определение и построение методом характеристик. Дельта-ударные волны в многомерном случае. Описание взаимодействия дельта-ударных волн методом слабых асимптотик. Дельта-ударные волны с сингулярным носителем в виде стратифицированного многообразия.Модели нелинейных волновых процессов. Образование и распад пробок на дорогах. Дельта –ударные волны в нелинейной хроматографии
  • Система фазового поля и задача Стефана –Гиббса-Томсона
    Задача Стефана, условия Гиббса-Томсона. Система фазового поля. Построение слабого асимптотического решения, описывающего движение границы раздела фаз (процесс плавления-затвердевания). Описание взаимодействия свободных граний в задаче Стефана-Гиббса-Томсона (моделирование возникновения или исчезновения новой фазы)
  • Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром
    Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующиеаналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова. Построение глобальных по времени асимптотических решений уравнения с малым параметром типа Колмогорова-Феллера методом характеристик. Решение задачи Коши в обратном времени
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашняя работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Экзамен
    Экзамен проводится в устной форме.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.25 * Домашняя работа + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • G. B. Whitham. (1999). Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience.
  • Gel, fand, I. M., & Shilov, G. E. (2016). Generalized Functions, Volume 1 : Properties and Operations. AMS.
  • V. P. Maslov, & G. A. Omel’yanov. (2018). Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE. I. AMS.
  • Vladimir Danilov, Roman Gaydukov, & Vadim Kretov. (2020). Mathematical Modeling of Emission in Small-Size Cathode. Springer.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Dafermos, Constantine. Hyberbolic Conservation Laws in Continuum Physics / Constantine Dafermos. –Springer, 2005
  • M. V. Karasev. (2016). Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems. AMS.
  • Линейные и нелинейные волны, Уизем, Дж., 1977
  • Обобщенные функции и действия над ними, Гельфанд, И. М., 2007