• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Владимир Арнольд как явление природы

Полит.РУ. 30 июня 2008

В любой науке есть люди, которые подобны явлению природы. Их мощный, а в то же время естественный, дарованный от рождения гений, выделяет их даже из сообщества людей изначально небесталанных – своих коллег-ученых. Их талант позволяет им делать больше и видеть шире. Именно таким человеком в математике является академик РАН Владимир Арнольд, которому в минувшем году, 12 июня, исполнилось 70 лет. А в этом году, в мае, он стал лауреатом Государственной премии РФ (высокая награда была ему вручена в день его рождения, совпадающий с Днем России), а в июне ему вместе с Л.Д. Фаддеевым, первыми из россиян, была присуждена премия имени Жунь Жуньшоу – Shaw Prize-2008, которую называют "Нобелевской премией Востока".

Мы бы хотели представить три образа Владимира Игоревича – мыслителя, математика и знатока поэзии.

Арнольд афористичный

В августе 2007 года в Президиуме РАН и Математическом институте им. Стеклова состоялась международная конференция "Анализ и особенности" в честь юбилея В.И. Арнольда, на которой Владимиру Игоревичу были вручены поздравительный адрес от Российской академии наук и личный от президента РАН Ю.С. Осипова, а академик РАН, ректор МГУ В.А. Садовничий вручил ему диплом и медаль "Почетного профессора Московского университета".

В ходе своей совсем не юбилейной, а как всегда интригующей лекции Арнольд, в частности, привел определение математики по Бурбаки: "Математикой называется дедуктивный метод абстрактных свойств некоторых предметов, не имеющих никакого отношения к реальной действительности, к другим их абстрактным свойствам, которыми занимаются математики" . Это определение вызвало у участников конференции смех. Второе определение, которое нравится В.И. гораздо больше, он нашел в новелле "Коррида" Виктории Токаревой. Там написано, что "математика – это то, что можно объяснить" .

Вместе с тем, в одном из интервью (1987) Владимир Игоревич говорил о том, что "замечательное свойство математики, которым можно только восхищаться, является непостижимая эффективность её наиболее абстрактных, и на первый взгляд, совершенно бесполезных, но красивых областей" – нет ли здесь мостика к определению из французского словаря? [1]

В прекрасном интервью Сергею Табачникову журналу "Квант" (1990) В.И. Арнольд дал еще одно определение математике: "Слово "Математика" означает наука об истине. Мне кажется, что современная наука (т. е. теоретическая физика вместе с математикой) является новой религией – культом истины – основанной Ньютоном триста лет назад" [2].

В.И. принадлежит много афоризмов, некоторые из которых не грех повторить снова и снова. В том же интервью С. Табачникову он отметил, что "Ученик – это не мешок, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь" .

В связи с этой же проблемой "учитель-ученик" он отмечал, что "И.Г. Петровский, один из моих учителей в математике, учил меня, что самое главное, что ученик должен узнать от учителя – это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопроса из нерешенных – дело самого ученика. Выбирать за него задачу – всё равно, что выбирать сыну невесту" (из предисловия В.И. к его книге "Задачи Арнольда").

На вопрос "Применимо ли к математике понятие моды?" Арнольд дал такой ответ: "Развитие математики напоминает быстрое вращение колеса, брызги с которого летят во все стороны. Мода – это струя, уходящая от основной траектории по касательной. Эти струи эпигонских работ всего заметнее, и в них основная часть массы, но они неизбежно погибают через некоторое время, оторвавшись от колеса. Чтобы остаться на колесе, нужно все время прилагать усилия в направлении, перпендикулярном общему потоку" (в этой связи С. Табачников замечает, что сам В.И. создавал моду в математике больше, чем раз) [2, 3].

Арнольд математический

Каков Владимир Игоревич в математике могут ответить только его коллеги. На наш вопрос, что же выделяет В. Арнольда от других математиков, мы получили несколько комментариев – получился своего рода юбилейный peer review. Лауреат Филдсовской премии, московско-принстонский математик Андрей Окуньков был краток и на наш вопрос о значении В.И. для математики, улыбаясь, протянул руку вверх, как люди обычно показывают на солнце или на Бога. Другие математики были, на радость журналисту, более многословны и выделили те аспекты дарования В.И., которые им кажутся самыми важными.

* * *

Сергей Гельфанд , руководитель издательской программы Американского математического общества ( Associate Publisher for Acquisition , American Mathematical Society ):

Что является наиболее важной чертой в математическом таланте Арнольда?

Это хороший вопрос, только я не знаю, как на него отвечать. Наиболее ценна в Арнольде, по-моему, его уникальность. Я не берусь оценивать, что хорошо, что плохо, но ценно то, как он думает про математику, оценивает математику, занимается математикой, говорит про математику. Так как делает это В.И. Арнольд – не делает никто другой. И поэтому это очень ценно и мне кажется это – главное и основное.

При этом все это, конечно, делается на совершенно высоком уровне, и этим он сильно отличается от многих других людей. Он говорит вещи интересные и важные, которые я нигде в других местах не слышал [4].

* * *

Станислав Янечко ( Stanislaw Janeszko ), профессор, директор Института математики Польской академии наук (Польша):

Что является наиболее важной чертой в математическом таланте Арнольда, на Ваш взгляд?

Я думаю, что Арнольд – великий человек и главная черта его таланта – это желание дойти до самой сути идей, в особенности, топологических и геометрических.

Наиболее важная его черта состоит в том, что он пытается найти ключ к решению проблемы, своего рода универсальный базис, который подходит для использования и в других областях математики. Он – математик с очень универсальным талантом, вот почему у него столько учеников.

А Вы можете себя назвать его учеником?

Да, могу, но с некоторыми оговорками. Вы понимаете, что есть дистанция – я из другой страны, я лично встречал В. Арнольда лишь несколько раз в жизни, но я его хорошо знаю по его статьям, его идеям, его результатам. Он, на самом деле, человек, который производит глубокое впечатление. Очень энергичный, готовый атаковать проблемы. Мы видели реальную иллюстрацию этому сегодня. Его доклад был очень интересным и энергичным (о лекции 20 августа 2007 г.) .

* * *

Валерий Козлов , академик, вице-президент РАН, директор Математического института им. В.А. Стеклова :

Что отличает В.И. Арнольда от других математиков?

Масштабность его творчества и широта мысли. Он не только и не столько чистый математик. Он сделал чрезвычайно много в областях, связанных с прикладной математикой, при всех условностях терминов "чистая" и "прикладная" математика. Это и механика, и теоретическая физика и т. д.

Кроме того, в чистую математику В.И. привносит дух экспериментирования. Сегодня в своем докладе (о лекции 20 августа 2007 г.) он интересно рассказывал о численных экспериментах, когда ответ совершенно не ясен и численные расчеты являются своего рода аналогом физического эксперимента.

* * *

Сергей Ландо, проректор Независимого Московского университета, старший научный сотрудник НИИ Системных Исследований РАН, декан факультета математики ГУ-ВШЭ:

В чем уникальность В.И. Арнольда как математика, ученого и человека?

Вопрос не простой, потому что тут надо говорить о том, что его отличает от других математиков. И, пожалуй, прежде всего, это необычайная универсальность. Он остался одним из немногих современных ученых, которые воспринимают математику в целом, не разбивая её на отдельные части, а, видя взаимосвязи между, казалось бы, самыми далекими областями математики.

И это поразительное умение выделять главное. Умение очистить вопрос от всего необязательного и наносного, выделить зерно, которое затем способно дать всходы. Вот то, что приходит в голову.

* * *

Анатолий Вершик , главный научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова, президент Санкт-Петербургского Математического Общества:

В чем уникальность Арнольда как математика, ученого и человека?

Арнольд – это явление природы. И как у всякого явления природы, у него много сторон. Его колоссальную энергию, результаты его многоплановой деятельности – надо уметь использовать (в мирных целях). Его природной одаренностью можно восхищаться, его видение науки и мира следует изучать, и, как и всякое явление природы, Арнольд вряд ли подлежит даже справедливой критике. В общем – это действительно особый феномен в современном математическом мире. Я считаю, что в моем поколении он, может быть, один из 2-3 мировых лидеров в математике; лидеров такого уровня в России не было давно. Это и понятно, причина в трагическом возрастном разрыве между нашим и предыдущими поколениями российских математиков – из-за войны, репрессий и других известных событий.

В.И. – невероятно увлеченный человек, с огромным от природы даром воспринимать мир в очень разных проявлениях, не только в математике, но и в физике, биологии, литературе. Знаете ли Вы, что ему принадлежит честь определения принадлежности эпиграфов к "Евгению Онегину"? Это была известная проблема в пушкинистике, я давно слышал о ней от моих друзей-филологов. Арнольд установил, что эпиграф к роману в стихах – это слегка переделанный кусок письма из знаменитого романа в письмах "Опасные связи" Шодерло де Лакло. Пушкинисты были поражены и удивлялись, как они сами это не обнаружили, изучая французские мотивы у Пушкина. А ответ очень простой: надо иметь мощное ассоциативное мышление, каким владеет В.И. Один из его учеников спросил у другого, что тот думает по поводу одной фантастической связи, замеченной Арнольдом, между двумя на первый взгляд далекими вещами, которыми эти ученики занимались: "Как к этому относится – как к науке или как к религии?" На что второй резонно ответил – "Это – научно обоснованная религия".

Очень хорошо помню приезд А.Н. Колмогорова с серией докладов в Ленинград в 1957 г., в которых он, между прочим, упомянул Арнольда (тогда еще студента), как наиболее сильного молодого математика Москвы. В.И. продолжает традицию своего учителя А.Н. Колмогорова: интересы и результаты обоих выходят далеко за пределы только математики, в самой математике оба универсальны. Обоим принадлежат как решение трудных конкретных задач, так и создание новых концепций. Но я думаю, что они – люди непохожих характеров, да и время, на которое приходился расцвет деятельности А.Н. слишком непохоже на наше время (Н.Д. – об одной истории переписки Арнольда и Колмогорова см. прим. 5).

Об В.И. можно много говорить как о педагоге. Его влияние на учеников и на более широкую аудиторию – огромно. Его учебники и статьи читают почти все математики. Его педагогические идеи увлекательны, однако далеко не всегда бесспорны, а его точки зрения и их изложение иногда излишне обострены. Но, как сказано у кого-то из французских поэтов: "Лишь крайность сообщает миру ценность, лишь средний уровень – устойчивость" .

Что касается меня, то я с ним дружу уже почти 50 лет. У нас с ним в некотором смысле был общий учитель – Владимир Абрамович Рохлин, очень известный математик, который получил образование в Москве, а потом, после долгих и драматических странствий, переехал в Питер, и жил последние 25 лет жизни в Питере. Он объединял математическую молодежь Питера и Москвы тех лет, и она его очень любила. Можно сказать, что его учениками в неформальном смысле были и Дима (так мы все называем В.И. Арнольда), и С.П. Новиков, и Я.Г. Синай, и Д.Б. Фукс и др.. Несколько лет назад мы выпустили книгу, посвященную ему, и там есть воспоминания Арнольда, в которых он, с присущей ему экспрессией, нарисовал очень яркий портрет В.А. Рохлина.

Его плодовитость как ученого, приближается к плодовитости чемпиона в этом деле, Леонарда Эйлера, 300-летие которого мы в Питере в прошлом году праздновали. Эйлер, как известно, написал около 800 работ, а Арнольд уже опубликовал 600 статей и 30 книг. Я думаю, что у него есть хороший шанс догнать Эйлера.

В.И., как и почти все известные математики нашего и следующих поколений, прошли через математические олимпиады. Это, как, впрочем, и другие причины, объясняет его неизменный интерес школьному и элитному математическому образованию. Кстати, он один из организаторов Московского независимого университета, – несомненной удачи деятельности московских математиков в 90-х гг. Сейчас идет длительная борьба ученых с одной стороны и бюрократов с другой, за то, чтобы сохранить лучшее в нашем образовании. Необходимость сохранения лучших традиций не очень-то понимается, теми, кто ориентирован на сиюминутные интересы. Безнадежно пытаться наскоро сделать нечто новое да еще примитивными способами, в ущерб сложившимся хорошим традициям. Мнения большинства профессиональных математиков, выраженное, правда в экстремальной форме, Арнольдом, состоит в том, что математику на всех уровнях образования надо сохранить, иначе интеллектуальная деградация общества неизбежна.

* * *

Борис Хесин , профессор факультета математики Университета в г. Торонто

В чем уникальность Арнольда как математика, ученого и человека?

В.И. – исключительный математик. Но мне кажется, не менее важен его удивительный и заразительный энтузиазм и в математике, и в её преподавании. Когда мы были его студентами, Арнольд проводил с нами бесконечное количество времени, часто объясняя нам самые простые вещи. Ну, как можно забыть, как после семинара, на лавочке возле аудитории, он объяснял мне, что такое дифференциальные формы и группы гомологий часа 3 подряд, до 11 вечера? Такая увлеченность математикой, такой энтузиазм, наверно, лежат в основе его поразительного умения создать и сохранить целую научную школу.

Возвращаясь ко вкладу Арнольда в огромном количестве областей – вот несколько математических теорий, которые носят его имя: теория Колмогорова-Арнольда-Мозера, топологическая гидродинамика, теория особенностей...

Многочисленные понятия названы его именем, наверное, навскидку можно назвать около 20 самых разных вещей:

Диффузия Арнольда в упомянутой выше теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Потоки Арнольда-Бельтрами-Чилдреса и критерий устойчивости Арнольда в гидродинамике, динамо Арнольда-Коркиной, теорема Лиувилля-Арнольда в теории интегрируемых систем.

Отображение Арнольда в динамических системах, которое часто называют "отображением Арнольдовской кошки", потому что Арнольд в своей книге нарисовал кошку, растягиваемую этим отображением. Так это название и закрепилось.

Языки Арнольда в теории бифуркаций. Нормальные формы матриц Жордана-Арнольда. Уравнение Эйлера-Арнольда геодезических на группах Ли. Есть спектральная последовательность Арнольда в теории особенностей.

Решение Колмогоровым и Арнольдом 13-й проблемы Гильберта. Есть много задач из теории предельных циклов, которые связаны с проблемой Гильберта-Арнольда о нулях абелевых интегралов.

Есть всевозможные гипотезы Арнольда в симплектической геометрии, по существу, породившие симплектическую топологию. А также соотношение Арнольда в когомологиях группы кос, инварианты Арнольда у кривых на плоскости. Наконец, неравенство Арнольда, сравнение Арнольда и его метод комплексификации в вещественной алгебраической геометрии.

* * *

Михаил Цфасман , доктор физико-математических наук, заведующий сектором алгебры и теории чисел Института проблем передачи информации РАН, ведущий научный сотрудник Национального центра научных исследований ( CNRS ; Франция), проректор по научной работе и профессор Независимого московского университета, директор российско-французской лаборатории по математике, информатике и теоретической физике им. Жана-Виктора Понселе, главный редактор Moscow Mathematical Journal:

В чем уникальность математического дарования В.И. Арнольда?

Для меня Владимир Игоревич как математик – это не только уникальное математическое дарование, хотя оно у него, безусловно, есть, а представитель плеяды моих учителей. Каждый из них и лично, и научно отличаются друг от друга, но вместе именно они и есть то, что я называю "Московская математическая школа". Одна из главных особенностей этой школы – взгляд на математику как целое, широта охвата, нежелание остаться узким специалистом в одном из ее медвежих углов.

Что касается взгляда Арнольда на математику, то я бы отметил две характерных особенности. Во-первых, его подход всегда геометричен, и это мне очень импонирует. Вторая вещь, которая отличает В.И., это что он всегда любил физику. Он в какой-то мере представитель еще того поколения XIX-го века, для которых физика и математика – одна наука. И хотя любой физик, конечно, скажет: "Нет, нет, Арнольд – это математик", у него сохранился интерес к физике и умение пользоваться физической интуицией в математических задачах и наоборот.

Не могли бы Вы пояснить, что значит геометричен? Образен?

В школе все мы изучали алгебру и геометрию. В алгебре в основном учили чему? Раскрывать скобки, т. е. проводить формальные вычисления, а в геометрии надо было увидеть задачу. Математика состоит, с одной стороны, из формальных рассуждений, а с другой стороны – из видения объекта. В отличие от школьной геометрии, в современной математике картинка или рисунок – это, скорее, образ, чем точный чертеж. Но, вместе с тем, наряду с формальными вычислениями, в математике важно уметь создать и понять такой образ. В лучших работах алгебра, геометрия и математический анализ идут рука об руку. Если у вас есть задача по геометрии, то вы, при желании, можете задать систему координат, тогда, допустим, у вершин треугольника будут координаты, и вашу задачу можно целиком написать в уравнениях. Я учился с очень сильным математиком (из него потом получился замечательный ученый), который все задачи в старших классах решал таким образом. Он говорил: "Ну, а что? В геометрии думать надо, а здесь я всё обозначил и вперед!" . Надо сказать, что он потом стал геометром, но это много позже. Труднее обратное, у вас есть формальная задача, так сказать, "буквы", а нужно получить её геометрическое видение.

Соответственно, можно создавать структуры, а можно их открывать и глядеть на то, как они устроены. И геометрический взгляд – это попытка понять и увидеть "в простом ведении", как они устроены.

* * *

Арнольд поэтический

В интервью "Кванту" на вопрос C. Табачникова "Когда вы доказываете теорему, вы её "создаете" или "открываете"?", Владимир Игоревич ответил, что, безусловно, испытывает ощущение, что он открывает нечто , "существовавшее и без меня" , а затем продекламировал строки А.К. Толстого:

Тщетно, художник, ты мнишь, что

Творений своих ты создатель,

Вечно носились они над Землею,

Незримые оку…

Много в пространстве невидимых

Форм и неслышимых звуков,

Много чудесных в нем есть

сочетаний и слова и света.

Говоря об ошибках в математике, В.И. заметил, что "Ошибки – важная и инструктивная часть математики, возможно, такая же важная часть, как и доказательства. Доказательства для математики подобно тому, что правописание (или даже каллиграфия) для поэзии. Математическая работа обязательно должна включать доказательства, как поэма должна содержать слова" [6].

Вышеприведенные ссылки на поэзию не случайны. Владимир Иванович любит поэзию и знает наизусть множество стихов. На нашу просьбу прочитать свое любимое стихотворение он сказал: "Я люблю так много стихов, что мне даже трудно выбрать" , но затем продекламировал строки Пастернака (1931 г.)

Есть в опыте больших поэтов

Черты естественности той,

Что невозможно, их изведав,

Не кончить полной немотой.

В родстве со всем, что есть, уверясь

И знаясь с будущим в быту,

Нельзя не впасть к концу, как в ересь,

В неслыханную простоту.

Но мы пощажены не будем,

Когда её не утаим.

Она всего нужнее людям,

Но сложное понятней им.

Арнольд отметил, что "это – специальное стихотворение про математику, одно из самых замечательных стихотворений Пастернака. На мой взгляд, он очень много про науку понимал, про математику" . На этих словах В.И. задумался и еще раз повторил, что у него "очень много любимых стихотворений" .

Далее он продекламировал такие строки:

Бессмертник сух и розов. Облака

На свежем небе вылеплены грубо.

Единственного в этом парке дуба

Листва еще бесцветна и тонка.

Лучи зари до полночи горят.

Как хорошо в моем затворе тесном!

О самом нежном, о всегда чудесном

Со мной сегодня птицы говорят.

А затем сказал: "Вот, пожалуйста. А это Анна Андреевна Ахматова ( 1916 ). И с ней у меня связана, между прочим, ужасная глупость. Она в 1962 году очень хотела со мной познакомиться, звала в гости, а я к Анне Андреевне не пошел. Как-то забоялся. Я гораздо ближе был знаком с её сыном Львом Гумилевым. Он был такой странный человек. Но с ним то мы были хорошо знакомы, а с ней то нет, хотя она звала" , – на этих словах Владимир Иванович засмеялся и пояснил нам причину: "Я испугался своей ничтожности: что я, а что она!" .

Примечания и полезные ссылки:

1. S. Zdravkovska . Conversation with Vladimir Igorevich Arnold // Math. Intelligencer. 1987. Vol. 9 No. 4. P. 28–32.

2. Интервью С. Табачникова с В.И. Арнольдом // "Квант". 1990. №7. С. 2-7, 15.

3. Рецензия С. Табачникова на книгу Arnold’s Problems by Vladimir I. Arnold.

4. С. Гельфанд также рассказал о том, что издательская программа Американского математического общества публикует книги математиков разных стран мира на английском языке, и 15% книг написаны российскими математиками: "Частично потому, что российские математики – одни из лучших в мире, частично потому, что я российскую математику знаю лучше, чем китайскую".

5. В своем комментарии "Полит. ру" В.И. Арнольд вспомнил о своем критическом письме Колмогорову, посвященную его идеям в области математического образования: "Я помню, что я ему написал такие слова, которые он комментирует в своем ответе. Он пишет: "Больше всего мне понравились две последние фразы в этом письме. Они мне понравились потому, что можно прочитать, чтобы было в них до зачеркивания. Так вот там было написано так: "Раскаиваюсь, что своей критикой хотел вас обидеть". Потом было зачеркнуто. А потом написано: "Каюсь", а вместо "обидеть" поставлено "мог вас огорчить", т. е. "Каюсь, что своей критикой мог вас огорчить". Что-то такое. А потом он сказал: " Оба исправления совершенно замечательные. Первое потому, что я давно знаю, что В.И. Арнольду раскаиваться в чем бы то ни было никогда не свойственно. Он каяться может, а раскаиваться нет". А второе тоже правильно, потому что обидеть меня не так уж легко" .

6. V. Arnold. Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts? Mathematics: frontiers and perspectives // Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000. P. 403–416

7. Персональная страница В.И. Арнольда

8. Статьи В.И. Арнольда на сайте МЦНМО

9. Страница В.И. Арнольда на сайте "Элементы. ру" , публичная лекция 13 мая 2006 г.