• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Аттракторы динамических систем, диффеоморфизмы Аносова и голоморфные слоения

2014

Исследование затрагивает следующие направления:

1. Примеры многообразий, на которых не существует транзитивных диффеоморфизмов Аносова (запись имеющегося результата);Гипотеза Смейла утверждает, что любой диффеоморфизм Аносова топологически сопряжён диффеоморфизму, получающемуся в результате некоторой алгебраической конструкции. Франкс и Маннинг свели эту гипотезу к утверждению о том, что диффеоморфизмы Аносова существуют только на инфранильмногообразиях. Эта гипотеза открыта уже много лет, и список многообразий, про которые доказано, что на них не существует диффеоморфизмов Аносова, не очень велик. В работе (совместно с В. Клепцыным) получена новая серия примеров многообразий, на которых не существует транзитивных диффеоморфизмов Аносова.

2. Многомерные костистые аттракторы (подготовка препринта к публикации);

3. Костистые аттракторы — это новый тип геометрической структуры аттрактора. Аттрактор такой системы состоит из «графика» и «костей», причём кости лежат в замыкании графика, а график — в замыкании костей. Планируется подготовка к публикации в журнале результата, полученного в ходе предыдущего исследования.

4. Гипотеза Иврия о периодических орбитах в  бильярдах (поддержана другим грантом);

5. В 1980 Иврий выдвинул гипотезу, что у бильярда с достаточно гладкой границей множество периодических орбит имеет меру нуль. В предлагаемой работе гипотеза Иврия для бильярдов с бесконечно гладкой границей сводится к случаю бильярдов с кусочно-аналитической границей. Частный случай этого результата недавно использован при доказательстве гипотезы Иврия для четырёхугольных орбит в плоском бильярде (Глуцюк, Кудряшов, JMD, 2012).- косые произведения со слоем окружность (новое исследование);

6. Недавно Д.С.Волк и В.А.Клепцын исследовали структуру косых произведений со слоем отрезок (препринт на arxiv.org, подана в печать). Для случая окружности А. Окунев доказал (результат готовится к публикации), что аттрактор типичного ступенчатого косого произведения или имеет меру 0, или совпадает с фазовым пространством. Это — существенный шаг в сторону обобщения утверждения Волка-Клепцына на случай косых произведений со слоем окружность. Планируется попробовать получить такое обобщение.

7. Голоморфные слоения в аффинном и проективном пространстве (исследование в новой для меня области). Планируется исследовать различные свойства типичных голоморфных слоений в афинном и проективном комплексном пространстве.

Публикации по проекту:


Nataliya Goncharuk, Kudryashov Y. Genera of non-algebraic leaves of polynomial foliations of ℂ² / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2014. No. 1407.7878.
Goncharuk N. B., Kudryashov Y. Bounded limit cycles of polynomial foliations of ℂP² / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2015. No. 1504.03313.
Kudryashov Y., Goncharuk N. B. Bounded limit cycles of polynomial foliations of ℂ² // Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. 2017. No. 1