• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Вероятностные и статистические методы анализа сложных моделей, задаваемых стохастическими дифференциальными и разностными уравнениями

2014

В рамках проекта рассматриваются три направления исследования.

1. Статистическое оценивание в полу- и непараметрических моделях.

В последнее время особое место в статистических исследованиях занимает описание наиболее сложных структур, которые могут быть проанализированы при помощи статистических методов. Задача поиска таких структур возникает, в частности, при изучении асимптотических свойств многомерных моделей для разреженных данных, т.е. в предположении, что только небольшое количество параметров модели значимо отличается от нуля. Подобная задача появляется также и при анализе моделей с большим количеством непараметрических компонент. Основной целью этого направления исследования является разработка процедур статистического оценивания, используемых на практике при анализе сложных моделей. Разработка процедур включает в себя вычисление оптимальных порядков сходимости, представляющее большой теоретический интерес. Кроме того, планируется вычисление асимптотического распределения, знание которого позволит определить асимптотические доверительные интервалы и построить асимптотические статистические тесты для оценок параметров.

2. Дискретизация стохастических дифференциальных уравнений.

Важность этой области исследования очевидна уже из того факта, что все методы аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) основаны на дискретизации. Действительно, только для небольшого класса СДУ возможно нахождение решения в явном виде. Для анализа решений, которые невозможно явно выписать, используются методы дискретизации, такие как методы Эйлера и Мильштейна, а также разложения в стохастический ряд Тейлора высших порядков. При использовании большинства известных методов естественным образом возникает вопрос о том, воспроизводят или нет применяемые методы асимптотические свойства исходного процесса (свойства перемешивания, порядки сходимости и т.д.). Основной целью является доказательство локальных предельных теорем для широкого класса схем дискретизации. В рассматриваемый класс схем входят классические схемы, такие как схемы Эйлера, Мильштейна, стохастические разложения Тейлора высоких порядков.

3. Невырожденные диффузии и двухсторонние границы для переходных плотностей.

то направление исследований мотивировано большим количеством примеров из статистической механики. Многие механические системы с внешним случайным воздействием типа хаотического белого шума являются вырожденными. Более того, механические системы с большим числом частиц являются существенно вырожденными по самой своей природе. Многие классические методы определения существования и единственности разработаны для невырожденных систем и не могут быть применены к стохастическим системам с сильным вырождением. Исключение составляют только регулярные (по крайней мере, непрерывные) системы, но лишь небольшое количество используемых систем относятся к данному типу. Целью данного направления исследований является разработка численных приближений для Броуновского движения на ортогональной группе и стохастического интеграла этого случайного процесса.

Публикации по проекту:


Konakov V., Markova A. Local limit theorems for Markov chains with trend component of linear growth / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2014. No. 1412.1607v1.
Veretennikov A., Abu-Shanab R. On asymptotic Borovkov-Sakhanenko inequality with unbounded parameter set // Теорія ймовірностей і математична статистика. 2014. Vol. 90. P. 1-12.
Veretennikov A., Zverkina G. Simple Proof of Dynkin’s Formula for Single-Server Systems and Polynomial Convergence Rates // Markov Processes and Related Fields. 2014. Vol. 20. No. 3. P. 479-504.
Lee Y., Mammen E., Nielsen J., Park B. Asymptotics for in-sample density forecasting // Annals of Statistics. 2015. No. 43. P. 620-645.
Belomestny D., Reiss M. Estimation and Calibration of Lévy Models via Fourier Methods, in: Lévy Matters IV. Estimation for Discretely Observed Lévy Processes. Vol. 2128: Lévy Matters IV. Heidelberg : Springer, 2014. P. 1-76.
Lee Y., Mammen E., Park B. Backfitting and smooth backfitting in varying coefficient quantile regression // Econometrics journal. 2014. Vol. 17. No. 2. P. S20-S38.
Molchanov S., Bendikov A., Grigoryan A., Samorodnitsky G. On class of random perturbation of the hierarchical Laplacian // Izvestiya. Mathematics. 2016. P. 859-893.
Dunker V., Florens J., Hohage T., Johannes J., Mammen E. Iterative Estimation of Solutions to Noisy Nonlinear Operator Equations in Nonparametric Instrumental Regression // Journal of Econometrics. 2014. Vol. 178. P. 444-455.
Mammen E., Mart ́ınez Miranda M., Nielsen J., Sperlich S. Further theoretical and practical insight to the do-validated bandwidth selector // Journal of the Korean Statistical Society. 2014. Vol. 43. P. 355-365.
Kelbert M., Suhov Y., Yambartsev A. A Mermin-Wagner theorem on Lorentzian triangulations with quantum spins // Brazilian Journal of Probability and Statistics. 2014. Vol. 28. No. 4. P. 515-537.
Kelbert M., Suhov Y. Probability and Statistics by Example, Vol. 1 Vol. 1: Basic Probability and Statistics. Cambridge : Cambridge University Press, 2014.