• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Алгебры Бете и кристаллы

2015

Категорные действия квантовых групп важны для построения новых инвариантов узлов (когомологий Хованова и их обобщений), а также для изучения геометрии пространств модулей пучков на поверхностях (на категории когерентных пучков которых имеется категорное действие квантовых групп). В ходе интенсивных исследований в течение последних 20 лет выяснилось, что кристальные базисы в представлениях квантовых групп имеют простой смысл в терминах геометрической теории представлений (и, более общо, категорификации). А именно, для представления квантовой группы, получающейся взятием K-группы категорного действия (например, соответствиями в категории когерентных пучков колчанного многообразия), кристальный базис есть базис из классов простых объектов категории. Это мотивирует изучение кристальных базисов как промежуточного шага к категорификации. Геометрические конструкции представлений квантовых групп также играют важную роль в теории интегрируемых систем. В последнее время выяснилось (благодаря Маулику и Окунькову), что вопросы вычисления инвариантов Громова-Виттена колчанных многообразий (в частности, пространств Гизекера модулей пучков на рациональной алгебраической поверхности) контролируются подалгебрами Бете в соответствующих квантовых группах. Подалгебры Бете являются максимальными коммутативными подалгебрами в квантовых группах и, как правило, описывают законы сохранения достаточно сложных интегрируемых систем. Простейшим примером такой системы является магнитная цепочка Годена, а также цепочка ХХХ. Собственный базис в пространстве состояний таких систем как правило не имеет простого описания. Основным методом нахождения собственных векторов является алгебраический анзац Бете. Уже в самых простых примерах анзац Бете оказывается связан с теорией представлений аффинных алгебр Каца-Муди и соответствующих квантовых групп на критическом уровне. Нашей отдаленной целью является обобщение конструкции Маулика-Окунькова на компактификации пространств монополей (соответствующая гипотеза была выдвинута в нашей работе с Финкельбергом, Фейгиным и Френкелем), а также геометрическое объяснение анзаца Бете. 

Публикации по проекту:


Rybnikov L. G. A Proof of the Gaudin Bethe Ansatz Conjecture // International Mathematics Research Notices. 2020. Vol. 2020. No. 22. P. 8766-8785. doi
Rybnikov L. G. A proof of the Gaudin Bethe Ansatz conjecture. / Cornell University. Series arxiv.org. "QA". 2016. 
Rybnikov L. G. Cactus group and monodromy of Bethe vectors / Cornell University. Series arXiv math. "QA". 2016. No. 1409.0131.