• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Действия унипотентных групп и абелевы вырождения

2015

Действия групп Ли на алгебраических многообразиях позволяют применять методы и подходы теории групп к изучению алгебро-геометрических свойств многообразий, а также использовать конструкции из комбинаторики и теории представлений. В качестве широко известных примеров можно привести теорию торических и сферических многообразий: в первом случае изучаются действия алгебраических торов, а во втором полупростых групп Ли. В частности, хорошо известно, что в теории торических многообразий ключевую роль играет комбинаторика выпуклых многогранников: разнообразные алгебро-геометрические свойства многообразий выражаются в терминах комбинаторных свойств многогранников. Классическими примерами сферических многообразий являются однородные пространства для действия алгебрических групп, например, классические многообразия флагов; в этом случае важную роль в теории играют представления соответствующих алгебр Ли и их комбинаторные свойства. В нашем проекте мы планируем изучать действия унипотентных групп на алгебраических многообразиях, а также связанные вопросы теории представлений и комбинаторики. Действия унипотентных групп возникают в различных задачах теории представлений и алгебраической геометрии. В частности, абелевы унипотентные группы естественным образом появляются при изучении абелевых вырождений многообразий флагов и более общих сферических многообразий, в теории колчанных грассманианов, в теории торических вырождений, в теории локально нильпотентных дифференцирований и в связанных с этими теориями комбинаторных задачах. Также недавно было показано, что представления абелевых унипотентных групп - точнее, вырожденные по Пуанкаре-Биркгофу-Витта представления простых алгебр Ли - играют важную роль в теории представлений аффинных алгебр Гекке. В нашем проекте мы предполагаем изучать общетеоретические вопросы, а также возможные приложения в различных задачах алгебраической геометрии, теории представлений, математической физики и комбинаторики. В частности, мы планируем изучить взаимосвязь между торическими вырождениями многообразий флагов и более общих сферических многообразий и многообразиями, снабжёнными действием унипотентной группы с открытой орбитой. В ходе реализации проекта мы предполагаем рассматривать не только конечномерные представления и связанные с ними геометрические структуры, но и бесконечномерные векторные пространства (например, представления аффинных алгебр Ли) и соответствующие инд-многообразия. Это позволит описать вырожденные представления бесконечномерных алгебр Ли и связанных с ними аффинных Грассманнианов и более общих многообразий флагов, а также аффинных модулей Демазюра. Последние являются представлениями алгебр токов, ассоциированных и простыми алгебрами Ли. Описание фильтрации Пуанкаре-Биркгофа-Витта на этих пространствах имеет важные приложения в теории несимметрических полиномов Макдональда.      

Публикации по проекту:


Feigin E., Makedonskyi I. Generalized Weyl modules, alcove paths and Macdonald polynomials / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2015. No. 1512.03254.
Feigin E., Makedonskyi I. Nonsymmetric Macdonald polynomials and PBW filtration: towards the proof of the Cherednik-Orr conjecture // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2015. P. 60-84.
Feigin E., Makedonskyi I. Weyl modules for osp(1,2) and nonsymmetric Macdonald polynomials / Cornell University. Series arxive "math". 2015. No. 1507.01362.