• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Математические и компьютерные модели систем естествознания

Приоритетные направления развития: математика
2015

В проекте исследуются некоторые математические модели систем естествознания, важные для развития высоких технологий и активно изучающиеся в мировой науке.

Исследованы различные квантовые явления в нано- и низкоразмерных системах на основе графена, полупроводниковых гетероструктур и сверхпроводящих микроструктур. В частности, изучена перенормировка скорости Ферми в системе скоррелированных безмассовых электронов в графене с кулоновским взаимодействием. Расчеты перенормированной скорости Ферми проведены в четырех различных приближениях и сопоставлены с экспериментальными данными. Они могут использоваться для моделирования основанных на графене аналоговых транзисторов и расчета их характеристик.

Обнаружено нарушение традиционной теоремы вириала для частиц с линейной дисперсией в случае графена.

Рассмотрена спектроскопия спазера, состоящего из плазмонного резонатора в виде чешуйки графена и активной среды в виде квантовых точек. Проведена оценка чувствительности спазера, которая оказалась весьма высокой и позволяющей использовать его в качестве сенсора или микроскопа. Изучены нелинейные внутренние колебания в бозе-эйнштейновском конденсате экситонных поляритонов, которые могут происходить в двух качественно различных режимах. Переход от одного режима колебаний к другому может наблюдаться в экспериментах.

Также исследован динамический эффект Лэмба в сверхпроводящей системе, состоящей из кубита и резонатора. Предложен способ существенного усиления этого эффекта при помощи периодической модуляции константы связи между кубитом и резонатором. Этот эффект может быть реализован экспериментально и использован для создания квантовой памяти на сверхпроводящих кубитах.

Реализован алгоритм расчета процессов, происходящих при термополевой эмиссии с нанокатодов сложной геометрии. Используется метод конечных элементов. Получены результаты расчета параметров процесса для вариантов геометрии нанокатода в виде шара, помещенного в вершину конуса. Результаты могут быть использованы для проектирования и Получено формальное асимптотическое решение задачи обтекания вязкой несжимаемой жидкостью плоской полубесконечной пластины с малой локализованной неровностью на ее поверхности типа горбика, ступеньки или излома в виде угла при больших значениях числа Рейнольдса. Показано, что пограничный слой имеет двухпалубную структуру: тонкий пристеночный пограничный слой, и «толстый» пограничный слой. Представлен алгоритм решения уравнений, описывающих течение в тонком пограничном слое, основанный на разностной схеме, удовлетворяющей принципу максимума, и проведено численное моделирование.  Исследовано влияние параметров неровности на характер течения в тонком пограничном слое. Показано, что и в случае обтекания пластины сжимаемой жидкостью возможна двухслойная структура течения, причем параметры, ее определяющие, те же, что и в несжимаемой жидкости. Результаты могут быть применены, в том числе, в процессах химической технологии (взаимодействие поверхностей с активными жидкостями), в аэродинамике (обтекание летательных аппаратов) и биофизике (течение в сосудах).

В модели резонансной планарной наноловушки Пеннинга проведено исследование эффективного гамильтониана вблизи экстремумов. Отобраны устойчивые точки экстремума. Найдена явная аналитическая зависимость нормальных частот в точках экстремума от внешних параметров ловушки.Результаты могут быть использованы при проектировании наноэлектронных устройств, а также в прототипах кубитов для квантовых вычислений.

Обсуждаются и исследуются биаксиальные нематические кристаллы, характеризующиеся текстурными преобразованиями, которые имеют место во внешних электрических или магнитных полях. Для их изучения использованы теоретические методы, основанные на минимизации свободной энергии системы при наличии нескольких определяющих параметров. Процесс минимизации требует учета нелинейных связей, наложенных на систему. Разработана методика, использующая концепцию кривизны тектстуры, которая позволяет учесть калибровочную симметрию параметра порядка жидкого кристалла. С помощью этой конструкции удается описать все возможные одномерные текстуры биаксиальных нематиков во внешнем поле. Обсуждаемый метод может быть также полезен для определения внутренней биаксиальности во внешних полях. Он оказался эффективным для численного моделирования текстурных конформаций во внешних полях. Данные результаты применены для исследования текстурных переходов типа Фредерикса во внешних электрических полях. К этому кругу задач примыкают проблемы расположения ДНК в виде компактных образований торического типа, тороидов. Показано, что локально, на достаточно малых размерах, здесь тоже имеет место согласованная пространственная ориентация, напоминающая ЖК фазовое упорядочивание.

Построено аналитическое решение уравнений Колмогорова-Феллера, описывающих ультраметрическую диффузию в сильном центрально симметричном потенциальном поле с глобальным минимумом. Решение таких уравнений представляет интерес для ультраметрических моделей динамики на многомерных сильно пересеченных энергетических ландшафтах, используемых во многих современных приложениях парадигмы "сложных систем", в частности, в задачах математического моделирования молекулярных машин. Получены и исследованы решения для ультраметрической диффузии на самоподобных иерархических энергетических ландшафтах, характерных для биологических молекулярных машин. Показано, что в этом случае релаксация к глобальному минимуму на промежуточных временах описывается степенной функцией.

Исследованы динамические свойства сетей (прототипов молекулярных машин) различной топологии. В частности предложена модель топологической сети с двумя видами вершин, "черными" и "белый" с фиксированной  степенью связанности.  Методами Монте-Карло исследована динамика переключения связей в сети с «выделенным» взаимодействием «черный-черный», «белый-белый». Результаты численного моделирования и аналитическое рассмотрение показали, что при любом положительном значении химического потенциала наблюдается формирование двух одноцветных кластеров, связанных «струной» между собой, зависимость концентрации черно-белых связей от химического потенциала при этом носит критический характер.  Результаты позволяет выявить, какие из топологических характеристик (распределение по степеням связности, распределение локального коэффициента кластеризации) отвечают за формирование кластерной структуры в сети.

Обсуждается и исследуется проблема энерго-эффективности, которая  будет неизбежно ограничивать суперкомпьютерные вычисления по мере наступления экзафлопсной эры. В качестве возможных кандидатов для этих целей  рассматриваются некоторые микропроцессорные архитектуры. В частности, рассматриваются микропроцессоры  с архитектурой ARM, которые в своем развитии достигли момента, когда уже можно серьезно  обсуждать их применение для высокопроизводительных вычислений. Представлен анализ эффективности последних версий ARM-микропроцессоров и их  производительности для задач классической молекулярной динамики. Результаты исследования показывают перспективность 

Проведенные в рамках данного проекта исследования основаны на оригинальных идеях. Работа по всем подтемам проекта выполнена на научном уровне, сравнимым с  мировым. Результаты, по большей части, опубликованы в авторитетных международных рецензируемых журналах и докладывались на представительных конференциях. Разработки данного проекта допускают дальнейшее углубление и развитие, которое может привести к важным теоретическим достижениям и новым приложениям, актуальным для высоких технологий.

Публикации по проекту:


Berman O. L., Kezerashvili R. Y., Yurii E. Lozovik. Graphene-Based Photonics and Plasmonics, in: Nanoscale Materials and Devices for Electronics, Photonics and Solar Energy. Springer, 2015. P. 93-126.
Голо В. Л., Блинов В. Н., Крупянский Ю. Ф. ТОРИЧЕСКИЕ КОНФОРМАЦИИ МОЛЕКУЛ ДНК // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. 2015. Т. 12. № 2. С. 5-20.
Voronova N., Elistratov A., Yurii Lozovik. Detuning-controlled internal oscillations in an exciton-polariton condensate // Physical Review Letters. 2015. Vol. 115. No. 18. P. 186402. doi
Shapiro D., Zhukov A., Pogosov W., Lozovik Y. Dynamical Lamb effect in a tunable superconducting qubit-cavity system // Physical Review A: Atomic, Molecular, and Optical physics. 2015. Vol. 91. No. 6. P. 063814. doi
Valba O. V., Nechaev S., Sterken M. G., Snoek L. B., Kammenga J. E., Vasieva O. O. On predicting regulatory genes by analysis of functional networks in C. elegans // BioData Mining. 2015. Vol. 8. No. 33. P. 1-16. doi
Danilov V., Gaydukov R. Vortices in the Prandtl boundary layer induced by irregularities on a plate // Russian Journal of Mathematical Physics. 2015. Vol. 22. No. 2. P. 161-173. doi
M.V.Karasev, E.M.Novikova. Planar Penning trap with combined resonance and top dynamics on quadratic algebra // Russian Journal of Mathematical Physics. 2015. Vol. 22. No. 4. P. 463-468.
Nikolskiy V., Stegailov V. Floating-point performance of ARM cores and their efficiency in classical molecular dynamics // Journal of Physics: Conference Series. 2016. Vol. 681. No. 012049. P. 1-6. doi
Yu. E. Lozovik, A. A. Sokolik, Zabolotskiy A. D. Quantum capacitance and compressibility of graphene: The role of Coulomb interactions // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2015. Vol. 91. No. 075416. P. 1-8. doi