• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Динамические системы и их приложения

Приоритетные направления развития: математика
2015

Цель работы: Развитие методов качественной теории динамических систем на многообразиях для получения новых фундаментальных результатов и применении их к проблемам механики, астрофизики, нейронных сетей, метеорологии и др.

Используемые методы: методы качественной теории динамических систем и   топологии.

Результаты работы: в ходе выполнения технического задания результаты были получены по нескольким научным направлениям. Именно

По направлению1. Регулярная динамика и её приложения к исследованию магнитных полей электропроводящих потоков

  • Установлено, что структура доменов в короне солнца описывается трехцветным графом и доказана эффективность алгоритма различения двух таких графов
  • выделен  класс  градиентно-подобных динамических систем на поверхностях,  топологическая  классификация  которых  сводится  к классификации грубых систем на окружности, полученной А.Г. Майером 
  • доказано, что диффеоморфизм  f  Морса-Смейла  многомерной  сферы,  неблуждающее множество NW(f) которого удовлетворяет условиям: i) NW(f) состоит из неподвижных точек с положительным типом ориентации;  ii)  устойчивые и неустойчивые многообразия седловых точек  из NW(f)  не пересекаются, включается  в топологический поток 
  • получена топологическая классификация многообразий, допускающих потоки Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из трех состояний равновесия. А именно, доказано, что все потоки из указанного класса на двумерных и четырехмерных многообразиях топологически экливалентны. На восьмимерных и шестнадцатимерных многообразиях полным топологическим инвариантом является тип вложения неустойчивого многообразия сепаратрисы седла. На многообразиях других размерностей потоки указанного класса не существуют
  • введено понятие согласованной эквивалентности энергетических функций Морса-Ботта для потоков Морса-Смейла  на поверхностях и доказано, что  согласованная эквивалентность энергетических  функций   является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности таких потоков.  Предлагаемый результат устраняет неточность в доказательстве  аналогичного факта К. Мейером, замеченную А.А. Ошемковым и В.В. Шарко
  • Доказано, что фазовое пространство омега-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях разбивается седловыми сепаратрисами и t-кривыми на однотипные многоугольные области. Тогда каждой такой динамической системе соответствует многоцветный граф, класс изоморфности которого является полным топологическим инвариантом 
  • Показано, что для 3-диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством и конечным числом модулей устойчивости, полным топологическим инвариантом является схема, содержащая информацию о геометрии пересечения седловых сепаратрис и о собственных значения седловых точек, чьи двумерные сепаратрисы касаются 

По направлению2. Построение энергетических функций и топологическая классификация  систем с хаотическим поведением

  • Доказано, что любой грубый 3-диффеоморфизм с нетривиальными базисными множествами размерности 2 топологически сопряжен локально прямому произведению Аносовского диффеоморфизма и грубого преобразования окружности;
  • Доказано, что класс топологической сопряженности полупрямого произведения DA-диффеоморфизма двумерного тора и грубого преобразования окружности олностью определяется комбинаторными инвариантами, а именно гиперболическим автоморфизмом тора и некоторым подмножеством его периодических орбит, а также числом периодических орбит и порядковым числом преобразования окружности.
  • введен класс псевдокогерентных диффеоморфизмов трехмерных многообразий и установлено, что любой диффеоморфизм из данного класса топологически сопряжен локально прямому произведению псевдоаносовского гомеоморфизма поверхности и грубого преобразования окружности.
  • построена энергетическая функция (гладкая функция Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с неблуждающим множеством системы) для омега-устойчивых каскадов поверхностей с растягивающимися аттракторами коразмерности, а также трехмерных каскадов с двумерными нетривиальными базисными множествами;
  • построено однопараметрическое семейство попарно топологически несопряженных эндоморфизмов, являющихся косым произведением расширяющего эндоморфизма окружности и диффеоморфизма источник-сток на окружности.

По направлению 3. Теория бифуркаций в системах с регулярной и хаотической динамикой

  • В дискретной модели трех элементов Рулькова, связанных тормозными связями, изучены последовательные переключения активности. Показано, что в такой модели существуют различные типы последовательной активности, а также другие режимы, характерные для нейроноподобных ансамблей с подобной топологией связей.
  • Проведена классификация реверсивных движений, наблюдаемых в кельтских камнях. Показано, что хаотическое поведение кельтского камня, является одной из причин возникновения многократного реверса.
  • В системе четырех связанных ротаторов, исследованной А.Пиковским и Д.Топажем, выяснено, что переход к диссипативной динамике от консервативной связан с возникновением бифуркаций потери симметрии.
  • В системе, описывающей движение двух точечных вихрей под воздействием акустической волны, обнаружены бифуркации потери симметрии. Показано, что хаос в системе ассоциируется не со странными аттракторами, а со смешанной динамикой.
  • В системе, описывающей движение волчка Чаплыгина по плоскости без проскальзывания, обнаружен новый хаотического аттрактора, названный кольцевым гетероклиническим странным аттрактором.
  • В неавтономной медленно периодически зависящей от времени двумерной системы типа Дюффинга показано, что внутри некоторой области динамика системы является хаотической.  Кроме того, в указанной области сосуществуют как хаотическое поведение, так и острова устойчивости (эллиптические орбиты) высоких периодов.

По направлению 4. Геометрия и динамика слоений, согласованных с дополнительными структурами

  • для картановых слоений со связностью Эресмана введен алгебраический инвариант – структурная алгебра Ли и доказано, что обращение в нуль этого инварианта является достаточным условием для существования и единственности структуры группы Ли в группе базовых автоморфизмов картанова слоения. Найдены точные оценки размерности указанной группы Ли, построены примеры;
  • доказано, что для любого собственного картанова слоения со связностью Эресмана существует открытое насыщенное всюду плотное подмножество слоеного многообразия, все слои которого диффеоморфны между собой, имеют тривиальную группу голономии и локально устойчивы в смысле Риба;
  • найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы гладкое слоение на псевдоримановом многообразии являлось псевдоримановым. Исследована структура графиков псевдоримановых слоений.
  • доказана эквивалентность различных подходов к понятию полноты слоений с трансверсальной линейной связностью и, в частности, для трансверсально аффинных слоений.

Публикации по проекту:


Жужома Е. В., Медведев В. С. Непрерывные потоки Морса-Смейла на проективно-подобных многообразиях // Труды Средневолжского математического общества. 2011. Т. 17. № 1. С. 55-65.
Куренков Е. Д., Гуревич Е. Я. Энергетическая функция и топологическая классификация потоков Морса-Смейла на поверхностях // Труды Средневолжского математического общества. 2015. Т. 17. № 2. С. 15-26.
Гринес В. З., Починка О. В., Шиловская А. А. Топологически псевдокогерентные диффеоморфизмы 3-многообразий // Журнал Средневолжского математического общества. 2015. Т. 17. № 2. С. 27-34.
Жужома Е. В., Медведев В. С., Тарасова Н. Непрерывные потоки на проективно-подобных многообразиях // Журнал Средневолжского математического общества. 2015. Т. 17. № 1. С. 55-65.
Гринес В. З., Жужома Е. В., Починка О. В. Грубые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один // Современная математика. Фундаментальные направления. 2015. Т. 57. С. 5-30.
Kazakov A., Korotkov A., Osipov G. V. Sequential dynamics in motif of excitatory coupled elements // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol. 20. No. 6. P. 701-715. doi
Куренков Е. Д. О динамике эндоморфизмов двумерного тора с одномерными базисными множествами // Динамические системы. 2015. Т. 5. № 1-2. С. 57-60.
Долгоносова А. Ю., Жукова Н. И. Псевдоримановы слоения и их графики // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. 2015. Т. 52. С. 62-64.
Исаенкова Н. В., Жужома Е. В., Осипов Г. В. О полусопряженности эндоморфизма Вильямса и неособого эндоморфизма окружности" // Труды Средневолжского математического общества. 2015. Т. 17. № 4. С. 24-30.
Долгоносова А. Ю., Жукова Н. И. Эквивалентные подходы к понятию полноты слоений с трансверсальной линейной связностью // Журнал Средневолжского математического общества. 2015. Т. 17. № 4. С. 14-23.
Basic automorphism groups of complete Cartan foliations covered by fibrations / Cornell University. Series arxive "math". 2015. No. 1410.1144. .
Zhukova N.I., K. I. Sheina. Basic automorphism groups of complete Cartan foliations covered by fibrations / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2015. No. 1410.1144 .