• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Топологические методы в динамике

Приоритетные направления развития: математика
2016

Цель работы: Развитие методов качественной теории динамических систем на многообразиях для получения новых фундаментальных результатов и применении их к проблемам механики, астрофизики, нейронных сетей, метеорологии и др.

Используемые методы: методы качественной теории динамических систем и топологии.

Результаты работы: в ходе выполнения технического задания результаты были получены по нескольким научным направлениям.

По направлению 1. Регулярная динамика и её приложения к исследованию магнитных полей электропроводящих потоков.

  • Для omega-устойчивых потоков   потоков  без периодических траекторий на  поверхностях введен  новый   топологический инвариант, являющийся четырехцветным графом, доказано, что класс изоморфности графа является полным топологическим инвариантом, а также получен  эффективный алгоритм различения таких графов.
  • Получен критерий топологической эквивалентности непрерывных потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит ровно из трех состояний равновесия, а также изучена топологическая структура несущих многообразий таких потоков.
  • Получена топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических траекторий на сфере   размерности четыре и выше посредством раскрашенного  графа. Показано, что  раскрашенный граф оказывается наиболее эффективным инвариантом для классификации диффеоморфизмов из класса G, поскольку существует оптимальный линейный алгоритм различения графов таких диффеоморфизмов.
  • Для диффеоморфизмов  Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных  на сфере  размерности четыре и выше решена проблема Палиса о включении в топологический поток. Установлено, что достаточные условия включения  в топологический поток совпадают с условиями Палиса (что контрастирует со трехмерным случаем).
  • Исследовано однопараметрическое семейство траекторий движения точек треугольника Рёло, расположенных на его оси симметрии, при качении его по квадрату. Найдены все бифуркационные значения параметра, при прохождении через которые происходит качественное изменение траектории. Установлены компоненты, из которых состоят траектории, определено их количество и их уравнения. При всех значениях параметра, превышающих первое бифуркационное значение, рассчитано отношение площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой, к площади описанного вокруг фигуры квадрата. Найдено лучшее приближение к квадрату.
  • Описаны доменные структуры в  солнечной короне с помощью многоцветного графа,  изоморфный класс которого является полным инвариантом для топологии доменов и дает информацию о количестве сепараторов.

По направлению 2. Построение энергетических функций и топологическая классификация  систем с хаотическим поведением.

  • Для эндоморфизма f:M^n→M^n, удовлетворяющего аксиоме А, и имеющего базисное множество коразмерности 1, являющееся компактным подмногообразием, установлено, изучена динамика и наличие гладкой структуры на базисном множестве.
  • Изучена топология объемлющего трехмерного  многообразия и динамика   A-диффеоморфизмов,  имеющих неблуждающее множество, расположенное на конечном числе попарно непересекающихся ручно вложенных инвариантных двумерных торов так, что каждый тор T есть объединение неустойчивых либо устойчивых многообразий одномерного базисного множества и конечного числа периодических точек с одинаковым индексом Морса.  Доказано, что структурно устойчивый диффеоморфизм f∈G топологически сопряжен локально прямому произведению обобщенного DA-диффеоморфизма и грубого преобразования окружности. Для таких диффеоморфизмов найдена полная система топологических инвариантов и в каждом классе топологической сопряженности построен стандартный представитель.
  • Получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности 3-диффеоморфизмов с конечным гиперболических неблуждающим множеством, допускающих  односторонние  гетероклинические  касания.
  • Изучена  динамика двумерных эндоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме A, в окрестности одномерных базисных множеств2.5 Гетероклинические  кривые   градиентно-подобных диффеоморфизмов  и топология несущего многообразия
  • Выделен  класс диффеоморфизмов Морса-Смейла, обладающих поверхностной динамикой. Установлено, что несущее ориентируемое  трехмерное  многообразие таких диффеоморфизмов  является локально-тривиальным расслоением над окружностью,  и получена   нижняя оценка числа гетероклинических кривых таких диффеоморфизмов.
  • В рамках проекта издана книга «Динамические системы на 2- и 3-многообразиях», являющаяся введением в топологическую  классификацию гладких структурно устойчивых каскадов, заданных на замкнутых  оpиентиpуемых многообразиях размерности два и три.

По направлению 3 .Теория бифуркаций в системах с регулярной и хаотической динамикой

  • Проведены исследования сценариев рождения странных аттракторов в неголономной модели волчка Чаплыгина. Установлено, что рассматриваемая модель демонстрирует типичные для диссипативных систем сценарии перехода к хаосу, такие как: (1) разрушение квазипериодического режима; (2) каскад бифуркаций удвоения периода по Фейгенбуму; (3) удвоения торов.
  • В модели связанных осцилляторов ранее был обнаружен интересный феномен, проявляющийся при изменение параметра связи. При малых значениях параметра система демонстрирует консервативное поведение. Однако с увеличением параметра, средняя дивергенция в системе становится отрицательной. При этом распределение инвариантной меры в прямом и обратном времени, не различимое при малых значениях параметра, становится все более и более различным с дальнейшим ростом параметра связи. Нам удалось объяснить такое явление возникновением в системе смешанной динамики, недавно открытого третьего типа хаоса, характерного обратимым (реверсивным) систем без гладкой инвариантной меры.
  • В неавтономной медленно периодически зависящей от времени двумерной системы типа Дюффинга показано, что внутри некоторой области динамика системы является хаотической.  Кроме того, в указанной области сосуществуют как хаотическое поведение, так и острова устойчивости (эллиптические орбиты) высоких периодов.
  • Предложена и изучена модель двух нейронов на базе двух связанных элемента ФитцХью-Нагумо.

По направлению 4.Геометрия и динамика слоений, согласованных с дополнительными структурами

  • Hайдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы слоение коразмерности q на n-мерном многообразии с трансверсальной линейной связностью допускало  трансверсальную инвариантную  псевдориманову метрику заданной сигнатуры, параллельную относительно этой связности.
  • Получен критерий римановости слоения с трансверсальной линейной связностью.
  • Для картанового слоения (M,F) произвольной коразмерности q, допускающего связность Эресмана, все слои которых являются вложенными подмногообразиями в M доказано существование открытого всюду плотного, вообще говоря несвязного, насыщенного подмножества M0 в M и многообразия L0 таких, что индуцированное слоение (M0,F{M0}), образовано слоями локально тривиального расслоения со стандартным слоем L0 над, возможно нехаусдорфовым, гладким q-мерным многообразием. В случае коразмерности один индуцированное слоение на каждой компонента связности многообразие M0 образовано слоями локально тривиального слоения над окружностью или тривиального расслоения над прямой.

 

Публикации по проекту:


Kazakov A., Коротков А. Г., Осипов Г. В. Dynamics of ensemble of excitatory coupled FitzHugh-Nagumo elements // Regular and Chaotic Dynamics. 2017
Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Тарасова Н. А. О существовании периодических траекторий для непрерывных потоков Морса-Смейла // Труды Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 1. С. 12-16.
Борисов А. В., Kazakov A., Сатаев И. Р. Spiral Chaos in the Nonholonomic Model of a Chaplygin Top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21. No. 7-8. P. 939-954. doi
N. I. Zhukova. Typical Properties of Leaves of Cartan Foliations with Ehresmann Connection / Пер. с рус. // Journal of Mathematical Sciences. 2016. Vol. 219. No. 1. P. 112-124. doi
Grines V., Pochinka O., Van Strien S. On 2-diffeomorphisms with one-dimensional basic sets and a finite number of moduli // Moscow Mathematical Journal. 2016. Vol. 16. No. 4. P. 727-749.
Kazakov A., Levanova T., Osipov G. V., Kurths J. Dynamics of ensemble of inhibitory coupled Rulkov maps // European Physical Journal. Special Topics. 2016. Vol. 225. No. 1. P. 147-157. doi
Kazakov A., Борисов А. В., Пивоварова Е. Н. Regular and Chaotic Dynamics in the Rubber Model of a Chaplygin Top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21. No. 7-8. P. 885-901. doi
Гринес В. З., Жужома Е. В., Починка О. В. Системы Морса-Смейла и топологическая структура несущих многообразий // Современная математика. Фундаментальные направления. 2016. Т. 61. С. 5-40.
Kazakov A., Лерман Л. М., Кулагин Н. Е. Relaxation Oscillations and Chaos in a Duffing Type Equation: A Case Study // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Vol. 5. No. 4. P. 437-454.
Sheina K. I., Zhukova N. The groups of basic automorphisms of complete Cartan foliations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2016
Kazakov A., Ветчанин Е. В. Bifurcations and Chaos in the Dynamics of Two Point Vortices in an Acoustic Wave // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2016. Vol. 26. No. 4. P. 1650063-1-1650063-13. doi
Сатаев И. Р., Казаков А. О. Сценарии перехода к хаосу в неголономной модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12. № 2. С. 235-250. doi
Гринес В. З., Починка О. В., Шиловская А. А. Диффеоморфизмы 3-многообразий с одномерными базисными множествами просторно расположенными на 2-торах. // Труды Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 1. С. 17-26.
Жукова Н. И., Шеина К. И. Критерий псевдоримановости слоения с трансверсальной линейной связностью. // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 2. С. 30-40.
Malyshev D., Pochinka O. Description of domain structures in the Solar Corona by means multi-color graphs // Динамические системы. 2016. Vol. 6(34). No. 1. P. 3-14.
Гринес В. З., Куренков Е. Д. О структуре одномерных базисных множеств эндоморфизмов поверхностей // Труды Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 2. С. 16-24.
Grines V., Malyshev D., Pochinka O., Zinina S. Efficient algorithms for the recognition of topologically conjugate gradient-like diffeomorhisms // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21. No. 2. P. 189-203. doi
Zhukova N., Dolgonosova A. Pseudo-Riemannian foliations and their graphs / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2016.