• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Аналитические задачи в выпуклой геометрии

2017

В проекте рассмотрены задачи, главным образом возникающие на пересечении выпуклой геометрии и бесконечномерных экстремальных задачи, в особенности задачи Монжа-Канторовича. Задача Монжа-Канторовича (оптимальной транспортировки) переживает бурное развитие благодаря работам следующих исследователей: C. Villani, L. Ambrosio, J. Lott, K.-T. Sturm, R.-J. McCann,  A. Figalli, M. Ledoux, B. Klartag, M. Beigelboeck, W. Schachermayer, С. Бобков, А. Вершик и др.

Приложения включают в себя динамические уравнениям в частных производных, анализ  и геометрию римановых многообразий, уравнение Монжа-Ампера, неравенства Соболева и изопериметрические неравенства, эргодическую теорию, финансовую математику, экономические приложения. Основная мотивация, пришедшая из выпуклой геометрией, связана с известными нерешенными задачами возникшими в анализе (гипотеза о гиперплоскости, J. Bourgain) и компьютерными науками (КЛС-гипотеза, L.Lovasc и др.). В этом направлении работают V. Milman, E. Milman, B. Klartag, A. Giannoplois, G, Paouris, M. Ledoux, F. Barthe, D. Cordero-Erausquin, A. Колдобский, С. Бобков и др. Обе области переживают подъем, активно растет число работ и новых результатов. Также на стыке областей находятся некоторые дифференциально-геометрические задачи (уравнение Кэлера-Эйнштейна) и некоторые нерешенные задачи типа Минковского (гипотеза о логарифмическом неравенстве Брунна-Минковского). Отдельно отметим направление, связанное с задачей Монжа-Канторовича с ограничениями, мотивированное задачами финансовой математики, эргодической теории и бесконечномерного анализа. В предлагаемом проекте планируется достичь прогресса в нескольких важных проблемах и направлениях:  КЛС-гипотеза, тонкие свойства решений уравнения Келера-Эйнштейна и оптимальной транспортировки логарифмически вогнутых мер, приложения экстремальных задач к теории вероятностей и случайным процессам. 

Публикации по проекту:


Kolesnikov A., Lysenko N. Y. Remarks on mass transportation minimizing expectation of a minimum of affine functions // Theory of Stochastic Processes. 2016. Vol. 21(37). No. 2. P. 22-28. 
Zaev D., Kolesnikov A. Optimal transportation of processes with infinite Kantorovich distance. Independence and symmetry. // KYOTO JOURNAL OF MATHEMATICS. 2017. Vol. 57. No. 2. P. 293-324. doi
Klartag B., Kolesnikov A. Remarks on curvature in the transportation metric // Analysis Mathematica. 2017. Vol. 43. No. 1. P. 67-88. doi
Kolesnikov A., Milman E. Poincaré and Brunn--Minkowski inequalities on the boundary of weighted Riemannian manifolds // American Journal of Mathematics. 2018. Vol. 140. No. 5. P. 1147-1185. doi
Kolesnikov A., Milman E. The KLS Isoperimetric Conjecture for Generalized Orlicz Balls // Annals of Probability. 2018. Vol. 46. No. 6. P. 3578-3615. doi
Kolesnikov A., Klartag B. Extremal Kaehler-Einstein metric for two-dimensional convex bodies / Cornell University. Series arxive "math". 2017.