• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Системы и слоения со сложной структурой предельных множеств

Приоритетные направления развития: математика
2017

Цель работы: Развитие методов качественной теории динамических систем, слоений и ассоциированных алгебраических структур для получения новых фундаментальных результатов и применение их к проблемам механики, астрофизики, нейронных сетей, метеорологии и др.

Используемые методы: методы качественной теории динамических систем, теории бифуркаций, теории групп и топологические методы.

Результаты работы: в ходе выполнения технического задания результаты были получены по нескольким научным направлениям:

1) топологические аспекты динамики и их приложения;

2) классификация динамических систем и построение энергетических функций;

3) теория бифуркаций;

4) динамика слоений с дополнительными структурами и ассоциированные алгебраические конструкции;

5) теория динамического хаоса и исследование хаотической динамики в конкретных системах.

По направлению 1) топологические аспекты динамики и их приложения

1.1 Решена задача о взаимосвязи между существованием сепараторов магнитного поля в солнечной короне и типом и числом седловых особенностей и зарядов. Введено понятие эквивалентности двух магнитных полей и получена классификация таких полей с точностью до топологической эквивалентности.

1.2 Построен пример диффеоморфизма 3-мерной сферы с положительной топологической энтропией, который имеет одномерное соленоидальное базисное множество с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым инвариантными многообразиями в каждой точке (в частности, базисное множество не является ни аттрактором, ни репеллером). Построенный диффеоморфизм служит основой для конструкции недиссипативного быстрого кинематического динамо с одномерным инвариантным соленоидальным множеством.

1.3 Написан обзор по теории Аносова-Вейля, в котором подведен итог многолетней деятельности (в том числе и сотрудников лаборатории В.З. Гринеса и Е.В. Жужомы), посвященной изучению асимптотических свойств прообразов траекторий потоков, слоев слоений,  устойчивых и неустойчивых многообразий точек базисных множеств каскадов, ориентируемых двумерных поверхностей на универсальном накрытии, являющимся либо эвклидовой плоскостью,  либо плоскостью Лобачевского.

1.4 Изучена динамика ограничения гиперболических эндоморфизмов на базисные множества коразмерности один, являющиеся топологическими подмногообразиями несущего многообразия эндоморфизма. Получен критерий существования аттрактора эндоморфизма, удовлетворяющего аксиоме Смейла-Пшетыцкого.

1.5 Численно показано существование эндоморфизма двумерного тора, удовлетворяющего аксиоме A для эндоморфизмов, неблуждающее множество которого обладает одномерным сжимающимся инвариантным как относительно итерации вперед, так и взятия полного прообраза репеллером, локально устроенным как произведение канторовского множества на отрезок.

1.6 Показано, что если замкнутое гладкое ориентируемое многообразие размерности большей или равной три, допускает систему Морса–Смейла без гетероклинических пересечений (для потока Морса–Смейла дополнительно требуется отсутствие периодических траекторий), то такое многообразие гомеоморфно связной сумме многообразий, структура которых взаимосвязана с типом и числом точек, принадлежащих неблуждающему множеству системы.

 1.7 Посредством цветного графа получена эйлерова характеристика и критерий ориентируемости поверхности, склеенной из 2 n-угольника.

1.8 Написан обзор о применении теории динамических систем к исследованию топологии магнитных полей в проводящей среде.

1.9  Написан обзор по динамике и классификации грубых диффеоморфизмов с базисными множествами коразмерности один.

1.10 Введен класс гомеоморфизмов с регулярной динамикой, заданных на топологических многообразиях, и названных гомеоморфизмами Морса-Смейла. Для этого класса получен аналог теоремы Смейла (доказанной ранее Смейлом для гладких систем) о связи между динамикой и топологией несущего многообразия.

1.11 Для класса диффеоморфизмов трехмерных многообразий с поверхностной динамикой дана точная нижняя оценка числа некомпактных гетероклинических кривых. Доказано, что несущее многообразие таких диффеоморфизмов является локально-тривиальным расслоением над окружностью (mapping torus) и на любом многообразии mapping torus существуют диффеоморфизмы с поверхностной динамикой.

1.12 Рассмотрен класс потоков Морса-Смейла на n-мерной сфере, неблуждающее множество которых состоит из двух узловых и двух седловых состояний равновесия. Доказано, что для любого потока из рассматриваемого класса пересечение инвариантных многообразий двух различных седловых состояний равновесия не пусто и состоит из конечного числа компонент связности.

1.13 Доказано, что два периодических сдвига на n-мерном торе, имеющих один период, топологически сопряжены посредством счетного семейства групповых автоморфизмов тора. Кроме того, показано, что для двух фиксированных топологически сопряженных сдвигов множество сопрягающих их гомеоморфизмов в каждом гомотопическом классе содержит континуум гомеоморфизмов.

1.14 Доказано, что для любого сохраняющего ориентацию градиентно-подобного диффеоморфизма, заданного на гладкой, ориентируемой, замкнутой поверхности существует дуальная пара аттрактор-репеллер, которые имеют топологическую размерность не больше 1 и характеристическое пространство гомеоморфно двумерному тору. Непосредственным следствием этого результата является, например, одинаковый период всех седловых сепаратрис такого диффеоморфизма.

1.15 Доказано, что полярные диффеоморфизмы, диффеоморфизмы в точности с одной седловой орбитой, существуют на поверхностях любого рода и седловая орбита всегда имеет отрицательный тип ориентации. Кроме того, установлены все возможные типы периодических данных для таких полярных диффеоморфизмов.

1.16 Доказано, что любая ориентируемая поверхность допускает сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла с одной седловой орбитой. Показано, что эти диффеоморфизмы имеют в точности три узловые орбиты.  Кроме того, установлены все возможные типы периодических данных для таких диффеоморфизмов.

По направлению 2) классификация динамических систем и построение энергетических функций

2.1 В каждом классе топологической сопряженности по абстрактной схеме реализован трехмерный сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Морса-Смейла.

2.2 Получена полная топологическая классификация Ω-устойчивых потоков на поверхностях с помощью двудольных ориентированных графов, оснащённых четырёхцветными мультиграфами. Для таких четырёхцветных и оснащённых графов построен алгоритм распознавания за полиномиальное время. Для каждого класса изоморфности таких графов построен стандартный Ω-устойчивый поток на поверхности.

2.3 Написан обзор, посвященный изложению результатов, связанных с вопросами существования энергетической функции у дискретных динамических систем, а также с техникой построения таких функций для некоторых классов $\Omega$-устойчивых и структурно устойчивых диффеоморфизмов на многообразиях размерности 2 и 3.

2.4 Показано, что с точностью до топологического сопряжения, класс эквивалентности диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических кривых на 3-многообразии определяется вложением двумерных устойчивых и неустойчивых гетероклинических ламинаций в характеристическое пространство.

По направлению 3) теория бифуркаций

3.1 Описан и реализован один из возможных сценариев рождения гетероклинических сепараторов в солнечной короне. Предлагаемый сценарий пересоединения связывает магнитное поле с двумя нулевыми точками разного знака, веерные поверхности которых не пересекаются, с магнитным полем с двумя нулевыми точками и двумя гетероклиническими сепараторами, их соединяющими.

3.2 Построена бифуркация между различными типами соленоидальных базисных множеств.

3.3 Найдены препятствия к существованию простой дуги, соединяющей многомерные диффеоморфизмы Морса-Смейла, заданные на неодносвязном замкнутом многообразии  

3.4 Для произвольного количества зарядов (безотносительно к их местоположению) и не предполагая потенциальности поля B приведены оценки, связывающие количества зарядов определенного типа с количеством нуль-точек. Для граничных оценок описывается топологическая структура магнитного поля. Приводится бифуркация рождения большого числа сепараторов.

По направлению 4) динамика слоений с дополнительными структурами и ассоциированные алгебраические конструкции

4.1 Подготовлена обзорная статья по геометрии слоений с трансверсальной линейной связностью. Обзор состоит из трех частей. Первая часть посвящена группам автоморфизмов слоений с трансверсальной линейной связностью  в категории слоений. Во второй части изложены результаты об эквивалентности различных подходов к понятию полноты для исследуемого класса слоений. В третьей части представлены теоремы о псевдоримановых слоениях, образующих важный класс слоений с трансверсально линейной связностью.

4.2 Проведено исследование псевдоримановых слоений и их графиков. Доказан критерий псевдоримановости гладкого слоения произвольной коразмерности на n-мерном псевдоримановом многообразии. Описаны структуры графиков псевдоримановых слоений.

4.3 Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы лоренцево слоение коразмерности два, допускающее связность Эресмана, было римановым. Дано описание структуры неримановых трансверсально аналитических лоренцевых слоений коразмерности два со связностью Эресмана.

4.4 С помощью теории деформаций алгебры Ли типа G2 построены изоморфизмы между известными простыми 14-мерными алгебрами Ли над полем четной характеристики и алгебрами Ли картановского типа S или H.

По направлению 5) теория динамического хаоса и исследование хаотической динамики в конкретных системах

5.1 Подготовлена обзорная работа по теории пседогиперболических странных аттракторов. Такие аттракторы, хоть и являются негрубыми, так как допускают гомоклинические касания, однако, наравне с гиперборлическими, относятся к классу настоящих аттракторов, так как гомоклинические касания в них не приводят к возникновению устойчивых орбит. Показано, что такие аттракторы могут возникать в трехмерных точечных отображениях. Приведены примеры пседогиперболических аттракторов, возникающих в обобщенных отображениях Эно.

5.2 Проведено исследование спирального хаоса в системах типа Лотки-Вольтерры и Розенцвейга-Макартура. Показано, что странные аттракторы в указанных системах возникают по сценарию Шильникова на основе гомоклинической траектории к седло-фокусному состоянию равновесия, обладающего двумерным неустойчивым многообразием. С помощью численных методов построены бифуркационные кривые отвечающие, возникновению гомоклинической траектории к седло-фокусным состоянием равновесия в указанных системах. Разработаны новые численные методы исследования систем, обладающих спиральными аттракторами.

5.3 Проведено исследование возникновения хаотической динамики в системе, описывающей движение двух вихрей, находящихся под воздействием волнового возмущения и сдвигового потока. Показано, что хаос в указанной системе ассоциируется, как со странными аттракторами, так и с сильно диссипативной смешанной динамикой, которая возникает в результате слияния гомоклинического аттрактора и гомоклинического репеллера. Изучены локальные и глобальные бифуркации, приводящие к возникновению смешанной динамики.

5.4 Проведено исследование сценариев возникновения смешанной динамики в осцилляторной модели Пиковского-Топажа, описывающей взаимодействие четырех связанных ротатора. Показано, что в указанной системе смешанная динамика возникает как «мягким образом», в результате последовательности локальных и глобальных бифуркаций потери симметрии, так и «жестким образом», в результате гетероклинических контуров, проявляющихся после кризиса простых (регулярных) аттракторов и репеллеров.

Публикации по проекту:


N.G. Chebochko, Kuznetsov M., Kondrateva A. Simple 14-Dimensional Lie Algebras in Characteristic Two // Journal of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 240. No. 4. P. 474-480. doi
Isaenkova N., Zhuzhoma E. V. On spectral decomposition of Smale-Vietoris axiom a diffeomorphisms // Dynamical Systems. 2017. Vol. 32. No. 2. P. 221-233. doi
Grines V., Pochinka O., Zhuzhoma E. V. Rough diffeomorphisms with basic sets of codimension one / Пер. с рус. // Journal of Mathematical Sciences. 2017. Vol. 225. No. 2. P. 195-219. doi
V. Grines, E. Zhuzhoma. Around Anosov-Weil Theory, in: Contemporary Mathematics Vol. 692: Modern Theory of Dynamical Systems: A Tribute to Dmitry Victorovich Anosov. Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2017. doi P. 123-154. doi
Жужома Е. В., Медведев В. С. Недисипативное кинематическое динамо на линзах // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 2. С. 53-61. doi
Grines V., Pochinka O. Topological classification of global magnetic fields in the solar corona // Dynamical Systems: an International Journal. 2018. Vol. 33. No. 3. P. 536-546. doi
Починка О. В., Ноздринова Е. В. О периодических данных полярных 2-диффеоморфизмов с одной седловой орбитой // В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Международной научной конференции (Саранск, 12–16 июля 2017 г.). Саранск : Средневолжское математическое общество (СВМО), 2017. С. 408-417.
Казаков А. О., Баханова Ю. В., Коротков А. Г. Спиральный хаос в моделях типа Лотки-Вольтерры // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 2. С. 13-24. doi
Pochinka O., Nozdrinova E., Dolgonosova A. On the obstructions to the existence of a simple arc joining the multidimensional Morse-Smale diffeomorphisms. // Динамические системы. 2017. Vol. 7(35). No. 2. P. 103-111.
Казаков А. О., Гонченко С. В., Гонченко А. С., Козлов А. Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25. № 2. С. 4-36. doi
Багаев А. В., Жукова Н. И. Трансверсально аналитические лоренцевы слоения коразмерности два // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. № 4 (44). С. 35-47. doi
Куренков Е. Д. О существовании эндоморфизма двумерного тора со строго инвариантным сжимающимся репеллером // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 1. С. 60-66.
Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Реализация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2017. Т. 297. С. 46-61. doi
Казаков А. О., Борисов А. В., Пивоварова Е. Н. Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 2. С. 277-297. doi
Kazakov A. On a scenario of onset of strongly dissipative mixed dynamics / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2017. No. 1801.00150.
Круглов В. Е., Таланова Г. Н. О поверхностях, склеенных из 2n-угольника // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 3. С. 31-40. doi
Чебочко Н. Г., Кузнецов М., Кондратьева А. Простые 14-мерные алгебры Ли в характеристике 2 // Записки научных семинаров ПОМИ РАН. 2017. Т. 460. С. 158-167.
Починка О. В., Долгоносова А. Ю., Круглов Е. В. Сценарий пересоединения в короне солнца с простой дискретизацией // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 4. С. 573-578.
Kazakov A., Gonchenko S. V., Turaev D. V., Gonchenko A. S. On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky–Topaj system of coupled rotators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2017. Vol. 350. P. 45-57. doi
Круглов В. Е., Починка О. В. Реализация оснащённого двудольного графа Омега-устойчивым потоком на поверхности // В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Международной научной конференции (Саранск, 12–16 июля 2017 г.). Саранск : Средневолжское математическое общество (СВМО), 2017. Гл. 59. С. 418-427.
Куренков Е. Д., Рязанова К. А. О периодических сдвигах на n-мерном торе // Динамические системы. 2017. Т. 7. № 2. С. 113-118.
Nina. I. Zhukova, Galaev A. S. Attractors of Cartan foliation / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2017.
Починка О. В., Гринес В. З., Жужома Е. В. Динамические системы и топология магнитных полей в проводящей среде // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63. № 3. С. 455-474. doi
Гринес В. З., Починка О. В. Построение энергетических функций для омега-устойчивых диффеоморфизмов на 2- и 3-многообразиях // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63. № 2. С. 191-222. doi
Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On embedding Morse-Smale diffeomorphisms on the sphere in topological flows / Пер. с рус. // Russian Mathematical Surveys. 2017. Vol. 71. No. 6. P. 1146-1148. doi
Grines V., Kurenkov E. On hyperbolic attractors and repellers of endomorphisms / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2017.
Долгоносова А. Ю. О слоениях с трансверсальной линейной связностью // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 1. С. 19-29. doi
Chebochko N.G. Deformations of Lie algebras of type ${D}_{l}$ / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2017. No. 1712.01810.
Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On the number of heteroclinic curves of diffeomorphisms with surface dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2017. Vol. 22. No. 2. P. 122-135. doi
Долгоносова А. Ю. О группах автоморфизмов слоений с трансверсальной линейной связностью в категории слоений // В кн.: Международная молодежная школа-семинар "Современная геометрия и ее приложения". Международная конференция "Современная геометрия и ее приложения". Материалы школы-семинара и конференции. Каз. : Издательство Казанского университета, 2017. С. 44-45.
Жужома Е. В., Медведев В. С., Исаенкова Н. О топологической структуре магнитного поля областей фотосферы // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 3. С. 399-412. doi
Grines V., Pochinka O., Bonatti C. Realization of Morse Smale Diffeomorphisms on 3-Manifolds / Пер. с рус. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2017. Vol. 297. P. 35-49. doi
Гуревич Е. Я. О простейших потоках Морса-Смейла с гетероклиническими пересечениями на сфере $S^n$ // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 2. С. 25-30.
Исаенкова Н., Жужома Е. В. Сопряжение диффеоморфизмов Смейла-Виеториса посредством сопряжения эндоморфизмов // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19. № 1. С. 38-50. doi
Zhuzhoma E. V., Medvedev V. Continuous Morse-Smale flows with three equilibrium positions // Sbornik Mathematics. 2016. Vol. 207. No. 5. P. 702-723. doi