• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Топология и хаос в динамике систем, слоений и деформации алгебр Ли

Приоритетные направления развития: математика
2018

Прикреплённые файлы:
Результаты работы - Annotatsia_TZ-95_na_russkom_yazyke.docx (138.68 Kb)

Цель работы

Развитие методов качественной теории динамических систем, включающее построение энергетических функций, топологическую классификацию, включение каскадов в поток, отыскание устойчивых дуг в пространстве динамических систем, установление связей динамики системы с топологией несущего многообразия, алгоритмизацию различения топологических инвариантов. Разработка новых аналитических и численных методов исследования псевдогиперболических аттракторов, спиральных квазиаттракторов и смешанной динамики многомерных диссипативных систем и их приложений к конкретным моделям. Развитие методов теории деформаций модулярных алгебр Ли и получение классификационных результатов для алгебр Ли характеристики 2. Разработка методов исследования качественного поведения слоений, согласованных с геометрическими структурами. Исследование геометрии расслоений, приложения к динамике. Развитие исчисления функций Чернова.

Используемые методы

Развитие топологических методов в динамике обогащает обе науки — качественную теорию динамических систем и топологию. Замечательным примером такого взаимодействия является решение одной из важнейших топологических проблем — многомерной гипотезы Пуанкаре (в размерности большей четырех). Для решения этой проблемы С. Смейл, применил теорию градиентных динамических систем, индуцированных функциями Морса. А именно, допуская, что многообразие является гомотопической сферой он доказал, что все критические точки данной функции Морса можно последовательно удалить и перейти к функции в точности с двумя критическими точками индекса 0 и 1.

Применяя топологические и геометрические методы сотрудники лаборатории получили глубокие результаты о взаимосвязи динамических характеристик потоков и каскадов с топологией несущего многообразия. Была изучена структура многообразий допускающая диффеомоорфизмы Морса-Смейла в зависимости от структуры пересечения инвариантных многообразий седловых периодических точек. Обнаружена взаимосвязь вложений инвариантных многообразий с существованием энергетических функций Ляпунова и т. п. Эти результаты были опубликованы в целом ряде ведущих зарубежных и отечественных журналов, что свидетельствует об их соответствии мировому уровню. Полученный задел позволит и далее развивать описанную выше актуальную тематику.

Другим важнейшим достижением современной теории динамических систем, в которой сотрудники лаборатории также являются признанными специалистами, стало открытие смешанной динамики, которая характеризует принципиальную невозможность отделить аттракторы динамической системы от репеллеров. Несмотря на то, что такое явление было обнаружено совсем недавно, уже удалось обнаружить ряд систем из различных приложений, демонстрирующих смешанную динамику. Таким образом, развитие методов исследования смешанной динамики является актуальной задачей как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Благодаря сильной алгебро-геометрической ячейке лаборатории планируется распространить понятие хаоса в динамических системах в смысле Дивани на произвольные слоения и исследовать проблему существования хаоса для картановых слоений, а также получить продвижения в классификации простых алгебр Ли над полями малой характеристики.

Результаты работы

Публикации по проекту:


Казаков А. О., Гонченко А. С., Гонченко С. В., Самылина Е. А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61. № 10. С. 867-882. doi
Гуревич Е. Я., Павлова Д. А. О вложении инвариантных многообразий простейших потоков Морса-Смейла с гетероклиническими пересечениями // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 378-383. doi
Grines V., Gurevich E., Zhuzhoma E. V., Medvedev V. On Topology of Manifolds Admitting a Gradient-Like Flow with a Prescribed Non-Wandering Set / Пер. с рус. // Siberian Advances in Mathematics. 2019. Vol. 29. No. 2. P. 116-127. doi
T. Medvedev, E. Nozhdrinova, O. Pochinka. On Periodic Data of Diffeomorphisms with One Saddle Orbit // Topology Proceedings. USA. 2019. Vol. 54. P. 49-68.
Кузнецов М., Чебочко Н. Г. ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРЫ ЛИ ТИПА A5 В ХАРАКТЕРИСТИКЕ 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. Т. 49. № 1. С. 49-55. doi
Гуревич Е. Я., Смирнова А. С. О структуре пространства орбит каскадов Морса-Смейла сферы // Динамические системы. 2018. Т. 2. № 15. С. 159-172.
Круглов В. Е. О числе модулей градиентных потоков функции высоты поверхности // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 419-428. doi
Pochinka O., Nozdrinova E., Логинова А. С. One-dimensional reaction-diffusion equations and simple source-sink arcs on a circle // Nelineinaya Dinamika. 2018. Vol. 14. No. 3. P. 325-330. doi
Чебочко Н. Г., Кузнецов М. Деформации алгебры Ли типа $\bar{A_5}$ в характеристике 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019
Долгоносова А. Ю., Жукова Н. И. О структуре групподиа голономии псевдориманова слоения // В кн.: Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 56: Лобачевские чтения-2018. Материалы семнадцатой молодежной школы-конференции. Каз. : Издательство Казанского математического общества и Академии наук РТ, 2018. С. 95-99.
V. Kruglov. Topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces // Динамические системы. 2018. Vol. 8(36). No. 1. P. 15-21.
Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 56: Лобачевские чтения-2018. Материалы семнадцатой молодежной школы-конференции. Каз. : Издательство Казанского математического общества и Академии наук РТ, 2018.
Исаенкова Н. В., Жужома Е. В. О соответствии базисных множеств А-эндоморфизмов и А-диффеоморфизмов // Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3. № 3. С. 295-310. doi
Починка О. В., Ноздринова Е. В., Колобянина А. Е. Современное изложение классификации грубых преобразований окружности // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 4. С. 408-419. doi
Казаков А. О., Леванова Т. А., Коротков А. Г., Осипов Г. В. Влияние электрической связи на динамику ансамбля нейроноподобных элементов с синаптическими тормозящими связями // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26. № 5. С. 101-112. doi
Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A., Козлов А. Д. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2018. Vol. 28. No. 11. P. 1830036-1-1830036-29. doi
L. Lerman (., E. Yakovlev. On interrelations between divergence-free and Hamiltonian dynamics // Journal of Geometry and Physics. 2019. Vol. 135. P. 70-79. doi
Починка О. В., Ноздринова Е. В. О динамике бифуркационных диффеоморфизмов простой дуги // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 1. С. 30-38.
T.V. Medvedev, O,V, Pochinka. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems // Dynamical Systems. 2018. Vol. 33. No. 4. P. 660-666. doi
Medvedev T. V., Medvedev V., Zhuzhoma E. V. Dynamics of one model of the fast kinematic dynamo // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 990. P. 1-9. doi
Яковлев Е. И., Епифанов В. Ю. Новые алгоритмы для вычисления базисов групп гомологий двумерных псевдомногообразий // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2018. № 2(46). С. 47-55. doi
Zhukova N. The existence of attractors of Weyl foliations modelled on pseudo-Riemannian manifolds // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 990. No. 1. P. 1-15. doi
E. I. Yakovlev, Chekmaryov D. T. Topological Methods in One Numerical Scheme of Solving Three-Dimensional Continuum Mechanics Problems / Пер. с рус. // Russian Mathematics. 2018. Vol. 62. No. 9. P. 72-85. doi
A. Yu. Dolgonosova, Zhukova N. Pseudo-Riemannian foliations and their graphs // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39. No. 1. P. 54-64. doi
K. I. Sheina, N. I. Zhukova. The Groups of Basic Automorphisms of Complete Cartan Foliations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39. No. 2. P. 271-280. doi
Pochinka O., Nozdrinova E. A calculation of periodic data of surface diffeomorphisms with one saddle orbit // Proceedings of the International Geometry Center. 2018. Vol. 11. No. 2. P. 1-15.
Гринес В. З., Куренков Е. Д. Представление просторно расположенных совершенных аттракторов диффеоморфизмов геодезическими ламинациями // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 2. С. 159-174.
Казаков А. О., Козлов А. Д. Несимметричный аттрактор Лоренца как пример нового псевдогиперболического аттрактора в трехмерных системах // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Т. 20. № 2. С. 187-198. doi
Kazakov A., Korotkov A. G., Levanova T. A., Osipov G. V. Chaotic regimes in the ensemble of FitzhHugh-Nagumo elements with weak couplings // IFAC-PapersOnLine. 2018