• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Методы моделирования сложных систем

Приоритетные направления развития: математика
2018

Цель работы

Целью первой части работы является изучение новых явлений в существенно квантовых системах, интересных с фундаментальной точки зрения и перспективных для приложений. В частности, планировалось моделирование ряда квантовых явлений на современных квантовых компьютерах и анализ ограничений такого моделирования, связанных с ошибками работы квантовых гейтов и с одно- и многокубитной декогеренцией. Планировался анализ возможностей реализации аналогов эффектов квантовой электродинамики в сверхпроводниковых системах, а также поиск новых эффектов в системах связанных кубитов и резонаторов. Была поставлена цель изучить влияние координатной зависимости эффективных масс фотонов и поляритонов на свойства бозе-конденсата таких частиц. Также планировалось исследование низкотемпературной системы бозонов с дальнодействующим межчастичным потенциалом.

Целью второй части данной работы является исследование спектральные свойства коннектомов и их особенности у разных организмов. Также необходимо изучить вопрос о том, какие именно особенности строения нервных сетей приводят к отличиям их спектров от спектров всех остальных сетей, а также насколько эти особенности зависят от видовых различий между организмами.

Целью третьей части работы является, во-первых, исследование течения стратифицированной жидкости c быстроосциллирующей границей раздела при неустойчивости Рэлея-Тейлора и ее асимптотическое поведение при стремлении частоты осцилляций к бесконечности в предположении, что сила тяжести преобладает над вязкостью, и относительная разница между плотностями жидкостей мала. Во-вторых, целью работы является создание общего алгоритма для построения формальных асимптотических решений рассматриваемых задач, основанного на современных методах исследования сложных задач математической физики. Эта задача возникла из-за обнаруженных в классических работах по трехпалубной структуре (в которых была рассмотрена только задача обтекания локализованной неровности) неточностей построения решения, приводящие к уравнению Бенджамина, в котором отсутствует связь как с геометрией задачи, так и с функциями, описывающими течения в многопалубной структуре). Очевидно, что такое уравнение лишено всякого гидродинамического смысла.

Цель четвертой части работы состоит в исследование квантовых резонансно-интегрируемых систем. Исследование туннельных эффектов в гиперболической ловушке с резонансом частот, когда гамильтониан является зеркально симметричным: построение эффективного гамильтониана, выявление условий возникновения биорбитальных состояний, представление туннельного расщепления в терминах комплексификации фазового пространства классической механической системы. Исследование геометрических токов в искривлённом тонком слое при совпадение циклотронной частоты с частотой поперечных колебаний заряда, определение влияния геометрии слоя на направление индуцированного тока. Также исследуются общие алгебраические методы сведения задачи с резонансами к гамильтониану с неприводимым резонансом.

Используемые методы

Экспериментальное моделирование квантовых спиновых систем проводилось удаленно на квантовом процессоре IBMqx4, для его анализа использовалось теоретическое моделирование на основе аналитических и численных квантовомеханических расчетов. Моделирование динамики связанных систем кубитов и резонаторов проводилось численным решением уравнения Линдблада в походящем базисе состояний. Анализ бозе-конденсации фотонов и поляритонов проводился путем численного решения уравнения Гросса-Питаевского. Система бозонов с дальнодействующим межчастичным потенциалом моделировалась численно диффузионным методом Монте Карло. Для режима слабого взаимодействия была разработана специальная модификация метода Боголюбова.

Для моделирования коннектома использовались различные компьютерные методы, включающие вероятностные методы Монте-Карло и различные алгоритмы на графах в том числе алгоритмы поиска сообществ, алгоритмы хранения и работы с большими данными, различные алгоритмы визуализации сетей и алгоритмы распространения возбуждения на сетях. Для анализа свойств коннектома, смоделированных сетей и случайных сетей использовался весь стандартный набор методов статистической физики, включая метод производящей функции, кластерный анализ, методы, разработанные для анализа аномальной диффузии, теория случайных матриц.

Основным приемом исследования гидродинамических задач является мало используемый факт, состоящий в том, что осреднение можно понимать, как предел в смысле обобщенных функций. Отсюда сразу следует, что осреднение – локальная операция, и возможность использования при осреднении всего аппарата теории обобщенных функций. Метод построения асимптотических решений задач обтекания основан на комбинации метода погранслойного разложения и метода осреднения (для случая периодических неровностей) или варианта метода Маслова-Уизема (для случая локализованных неровностей).

При исследование квантовых резонансно-интегрируемых систем используются алгебраические и геометрические методы: алгебраическое усреднение, построение резонансных алгебр симметрий, выделение в них структуры рождение-уничтожение, анализ топологии симплектических листов и классических траекторий движения. Применяются методы дискретного и непрерывного квазиклассического ВКБ приближения.

Эмпирическая база исследования

В качестве эмпирической базы использовались результаты исследований по тематике проекта, опубликованные в мировой научной литературе.

Результаты работы

В первой части работы было проведено экспериментальное моделирование квантовой эволюции систем нескольких связанных спинов, в результате чего продемонстрированы эффекты квантовой запутанности и блокады передачи возбуждений. Выявлены ограничения на длину квантовых алгоритмов, обусловленных ошибками срабатывания квантовых гейтов. Предложена новая реализация динамического эффекта Лэмба в сверхпроводниковых системах. Обнаружен интересный эффект усиления квантовых явлений в одной подсистеме за счет диссипации энергии в другой подсистеме. Изучено влияние координатной зависимости эффективной массы фотонов и поляритонов на энергии и волновые функции их бозе-эйнштейновских конденсатов в оптических микрополостях. Показано, что при помощи координатной зависимости эффективной массы можно управлять силой взаимодействия частиц, и даже менять их отталкивающее взаимодействие на притягивающее. Детально исследованы свойства квантовой системы бозонов при нулевой температуре с отталкивающим потенциалом взаимодействия, обратно пропорциональным квадрату расстояния. Обнаружен фазовый переход между газовой и твердой фазами, происходящий при критической силе взаимодействия. При слабой силе связи найден плазмонный спектр возбуждений с корневой дисперсией.

Основные результаты второй части работы можно сформулировать следующим образом. Во-первых, коннектом человека демонстрирует существенную неслучайность по сравнению с сетями других животных. Это может указывать на эволюционный отбор, действующий на нервную сеть. Во-вторых, локальная кластеризация во многом определяет форму спектра коннектома и, следовательно, играет важную роль в структуре исследуемых сетей. Такая особенность может вытекать из «модульной», иерархической организации сетей мозга

Результатом третьей части работы является, во-первых, система уравнений, регуляризующая известные уравнения Дарси в том смысле, что в устойчивом случае регуляризованная система переходит в систему уравнений Дарси, а при неустойчивости Рэлея-Тейлора описывает развитие зоны перемешивания. Во-вторых, в третьей части работы получены формальные асимптотические решения нестационарных задач обтекания локализованных и периодических неровностей на пластине. Важным результатом является то, что полученное в результате предложенного подхода уранвнеие типа Бенджамина-Оно содержит в себе члены, описывающие геометрию задачи. Более того, оказалось, что это уравнение является автоматически удовлетворяемым соотношением, а сама неизвестная функция может быть найдена из краевого условия для системы уравнений типа Прандтля с индуцированным давлением, описывающей течение в пристеночной области.

В результате четвертой части работы исследован общий гамильтониана резонансной гиперболической ловушки с парой совпадающих частот. Показано, что если ангармоническая часть гамильтониана гиперболической ловушки является зеркально симметричной, то эффективный гамильтониан имеет неустойчивые равновесия и сепаратрисы, определяющие отдельные классически допустимые области в пространстве первых интегралов идеальной ловушки. Соответствующие стационарные состояния удерживаемого заряда могут образовывать биорбитальные состояния, то есть состояние, локализованное на двух разных классических траекториях. Получена квазиклассическая асимптотика расщепления энергий, соответствующую туннелированию заряда между этими двумя траекториями в фазовом пространстве. Квазиклассическая асимптотика туннельного расщепления представлена в терминах комплексных периодических инстантонов. В задаче о частице в тонком искривленном слое при магнитно-размерном резонансе изучено взаимодействие индуцируемых токов в общем виде, а также для слоев цилиндрической и параболической формы. Приведен пример формы слоя, при которой эффект Холла будет подавлен возникающими геометрическими токами, а также слой, ток в котором индуцируется в направлении приложенного к нему электрического поля.

Представлен алгебраический метод приведения задачи с частотными резонансами общего вида к неприводимым резонансам. Построены образующие алгебры симметрий, неприводимые представления и когерентные состояния в этом случае.

Степень внедрения, рекомендации по внедрению или итоги внедрения результатов НИР

Анализ работы 5- и 16-кубитных квантовых компьютеров позволил разработать эвристические модели, с помощью которых можно извлекать значимую информацию даже из результатов работы квантового компьютера, искаженных неидеальностью срабатывания гейтов. Предложенная реализация динамического эффекта Лэмба в связанной системе сверхпроводникового кубита и резонатора может быть осуществлена экспериментально. Предсказанные эффекты координатно-зависимой эффективной массы фотонов и поляритонов также могут быть проверены в современных экспериментах. Исследованные системы бозонов с дальнодействующим отталкиванием могут быть реализованы на базе нескольких физических систем.

Результаты, полученные при исследовании резонансных квантовых систем, могут быть использованы при проектировании и разработке перспективных нано-электронных устройств.

Публикации по проекту:


Vybornyi E., Karasev M. Bi-orbital states in hyperbolic traps // Russian Journal of Mathematical Physics. 2018. Vol. 25. No. 4. P. 500-508. doi
Avetisov V. A., Nechaev S., Gorsky A., Maslov S., Valba O. V. Phase transitions in social networks inspired by the Schelling model // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2018. Vol. 98. No. 3. P. 032308-1-032308-11. doi
Danilov V. Averaging under Rayleigh-Taylor instability and density mushy region generation // European Journal of Mechanics - B/Fluids. 2019. Vol. 74. P. 152-158. doi
Махиборода А. В., Ильичёв А., Подобин А. Проблемы моделирования феномена самосборки (ч. I) // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. 2017. Т. 17. № 1. С. 5-50.
Махиборода А. В., Подобин А., Ильичёв А. Проблемы моделирования феномена самосборки (ч. II) // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. 2017. Т. 17. № 2. С. 5-48.
Воронова Н. С., Ю. Е. Лозовик О координатно-зависимой эффективной массе в бозе-конденсатах фотонов и поляритонов в ловушке оптической микрополости // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2018. Т. 108. № 12. С. 805-809. doi
Alexey A. Sokolik, Yurii E. Lozovik. Many-body renormalization of Landau levels in graphene due to screened Coulomb interaction // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2018. Vol. 97. No. 07-5416. P. 1-8. doi
Gaydukov R., Danilov V. Triple- and double-deck structures in the case of periodic irregularities on the plate from a unique viewpoint // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2018
Zhukov A. A., Remizov S. V., Pogosov W. V., Yu. E. Lozovik. Algorithmic simulation of far-from-equilibrium dynamics using quantum computer // Quantum Information Processing. 2018. Vol. 17. No. 223. P. 1-26. doi
Voronova N. S., Kurbakov I. L., Lozovik Y. Bose Condensation of Long-Living Direct Excitons in an Off-Resonant Cavity // Physical Review Letters. 2018. Vol. 121. No. 23-5702. P. 235702-1-235702-6. doi
Zabolotskiy A., Yu. E. Lozovik. Strain-induced pseudomagnetic and scalar fields in symmetry-enforced Dirac nodes // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2018. Vol. 459. P. 43-45. doi
Astrakharchik G. E., Kryuchkov P. S., Kurbakov I. L., Yuri E. Lozovik. The Inverse-Square Interaction Phase Diagram: Unitarity in the Bosonic Ground State // Crystals. 2018. Vol. 8. No. 246. P. 1-26. doi
Жуков А., Ремизов С., Погосов В., Шапиро Д., Ю.Е. Лозовик Сверхпроводниковые кубитные системы как платформа для изучения эффектов нестационарной электродинамики в полости // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2018. Т. 108. № 1. С. 62-70. doi