• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Версия для слабовидящихЛичный кабинет сотрудника ВШЭПоискМеню

Теоретический анализ численных методов повышенного порядка для решения задач волновой физики

2019

Проект посвящен теоретическому анализу численных методов решения таких задач волновой физики, а также квантовой механики, квантовой электроники, атомной и молекулярной физики и др., как начально-краевые задачи для нестационарного уравнения Шрёдингера и волнового уравнения, в том числе в специальных неограниченных пространственных областях. Изучаются разностные методы повышенного порядка аппроксимации, а также метод конечных элементов высокого порядка. В случае двух и трех пространственных переменных для достижения высокой эффективности методов дополнительно применяется расщепление по потенциалу. В случае неограниченных областей для методов ставятся дискретные прозрачные граничные условия, позволяющие добиться полного (100%-го) отсутствия отражений от искусственных границ. 
В проекте планируется разработка надлежащей техники исследования и вывода семейств точных оценок погрешности указанных методов для данных (в первую очередь начальных данных задач) из пространств С.Л. Соболева и С.М. Никольского, включающих как оценки максимального возможного порядка, так и с охватом важных на практике случаев разрывных данных, или непрерывных данных, имеющих разрывные производные и т.д. Подобные результаты в настоящее время в литературе отсутствуют. Более того, в случае неограниченных областей известные оценки погрешности других авторов  содержат неадекватные слагаемые с шагами сетки в отрицательных степенях. Интересный нетривиальный момент связан с тем, что для рассматриваемых в проекте уравнений, в отличие от эллиптических и параболических уравнений, методы высокого порядка аппроксимации позволяют добиться большего порядка убывания погрешности и при негладких данных, когда получение качественных приближенных решений связано с наибольшими трудностями. Вывод новых результатов будет базироваться на методике, ранее разработанной автором проекта для других типов уравнений или других численных методов (в основном 2-го, а не повышенного порядка). В том числе будут развиваться недавние подходы, развитые автором проекта в 2015 г.
Для обоснования точности указанных оценок погрешности по порядку требуется вывод соответствующих оценок погрешности снизу для данных из упомянутых выше пространств. Подобная тематика является классической в вычислительной математике и теории функций и связана с именами А.Н. Колмогорова, Н.С. Бахвалова, К.И. Бабенко и др. математиков. Однако для рассматриваемых задач получение оценок снизу требует разработки и применения иной техники. 
Планируется также дальнейшая разработка быстрых прямых алгоритмов реализации метода конечных элементов высокого порядка на прямоугольных пространственных сетках. Новые оригинальные алгоритмы такого рода предложены автором проекта (в соавторстве) в 2017 г. Потенциально они могут широко использоваться в самых разных научных и прикладных вычислениях, в том числе в сочетании с другими уже известными методами.

Публикации по проекту:


Злотник А. А., Злотник И. А. Быстрые Фурье-солверы для МКЭ высокого порядка с тензорными произведениями для уравнения типа Пуассона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60. № 2. C. 234-252. doi
Zlotnik A., Čiegis R. On properties of compact 4th order finite-difference schemes for the variable coefficient wave equation / Cornell University. Series arxive "math". 2021. No. ArXiv: 2101.10575v2[math.NA]. 
Zlotnik A., Kireeva O. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation / Cornell University. Series arxive "math". 2020. No. arXiv:2011.14104v2[math.NA]. 
Zlotnik A., Zlotnik I. Fast Fourier solvers for the tensor product high-order FEM for a Poisson type equation // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Vol. 60. No. 2. P. 240-257. doi
Zlotnik A., Kireeva O. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation // Mathematical Modeling and Analysis. 2021. Vol. 26. No. 3. P. 479-502. doi
Zlotnik A., Čiegis R. A compact higher-order finite-difference scheme for the wave equation can be strongly non-dissipative on non-uniform meshes / Cornell University. Series arxive "math". 2020. No. 2012.01000 [math.NA].