• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Перечисление карт на поверхностях с точностью до всех гомеоморфизмов

2019

Основной объект исследования в данном проекте - карты на замкнутых ориентируемых (тор, крендель, сфера с g ручками) и неориентируемых (проективная плоскость, бутылка Клейна, сфера, заклееная g лентами Мебиуса) поверхностях рода g. Под (топологической) картой M на поверхности S рода g понимается такое вложение связного мультиграфа G в поверхность X, при котором вершины графа представляются различными точками поверхности X, ребра — несамопересекающимися кривыми, не имеющими общих точек, отличных от общих концевых вершин, а X \ G представляет собой набор из f односвязных областей, гомеоморфных открытым дискам и называемых гранями карты M. 
Две топологические карты M_1 и M_2 на поверхности S называются изоморфными, если существует гомеоморфизм h поверхности S, индуцирующий изоморфизм отвечающих картам графов G_1 и G_2. Изоморфизм карт разбивает множество всех карт на поверхности S на классы. Каждый такой класс эквивалентности можно рассматривать как непомеченную карту. Для ориентируемых поверхностей мы имеем два типа гомеоморфизмов, а именно, гомеоморфизм, сохраняющий ориентацию поверхности, и гомеоморфизм, меняющий ее. Непомеченные карты на ориентируемой поверхности S с точностью лишь до сохраняющих ориентацию S гомеоморфизмов называются в англоязычной литературе sensed maps, а непомеченные карты на ориентируемой или неориентируемой поверхности S с точностью до всех гомеоморфизмов называются unsensed maps. Основная задача данного проекта - разработать технику перечисления непомеченных карт на ориентируемых и неориентируемых поверхностях с точностью до всех гомеоморфизмов.  
Для этого, в частности, предполагается:
1. Получить рекуррентные соотношения для корневых карт на замкнутых ориентируемых и неориентируемых поверхностях, а также поверхностях с краем, построить аналитические решения этих рекуррентных соотношений с помощью производящих функций, а также проверить полученные аналитические результаты путем их сравнения с результатами генерации соответствующих структур.
2. Решить задачу описания и классификации орбифолдов, возникающих при факторизации ориентируемых поверхностей периодическими сохраняющими и изменяющими ориентацию гомеоморфизмами, а также построить рекуррентные соотношения для перечисления фактор-карт на таких орбифолдах. С использованием этих результатов предполагается перечислить карты на замкнутых ориентируемых поверхностях с точностью до всех гомеоморфизмов.
3. Решить задачу описания и классификации орбифолдов, возникающих при факторизации неориентируемых поверхностей периодическими гомеоморфизмами, а также построить рекуррентные соотношения для перечисления фактор-карт на таких орбифолдах. С использованием этих результатов предполагается перечислить карты на замкнутых неориентируемых поверхностях с точностью до всех гомеоморфизмов.