• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Доказательства и модели

2019

В ходе проекта предполагается расширить и лучше понять класс примеров формальных арифметических теорий, в которых выразима и доказуема собственная непротиворечивость. В частности, будет рассмотрена новая теория, являющаяся аналогом примитивно рекурсивной арифметики, в которой все функции по росту не превосходят тождественную. Предполагается получить лемму о неподвижной точке для данной формальной теории и построить на её основе новые "контрпримеры" ко второй теореме Гёделя о неполноте.

Мы также хотим понять некоторые известные теоретико-множественные конструкции задания больших кардиналов в терминах оператора взятия топологической производной на пространстве ординалов. В частности, старая работа Х. Гайфмана (A generalization of Mahlo's method for obtaining large cardinals, Israel journal of Mathematics, 1967) описывает конструкцию, которая должна быть тесно связана с топологическими моделями полимодальных логик. Мы планируем разобраться в этой работе и, как мы надеемся, переосмыслить ее с этой точки зрения. 

Планируется продолжить изучение гипотезы А. Виссера о том, что всякая интерпретация арифметики Пресбургера в себе определимо изоморфна тождественной. Опираясь на теорему Фуэтера-Пойя, есть надежда получить ответ на этот вопрос в случае двумерных интерпретаций. Кроме того, важным задачей в этой области является характеризация линейно упорядоченных множеств, интерпретируемых в арифметике Пресбургера. Ранее А. Запрягаев и Ф. Пахомов установили, что такие линейные порядки должны быть разреженными, причем их ранг Хаусдорфа не превосходит размерности рассматриваемой интерпретации более, чем на 1. Однако это условие является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным. Будет предпринята попытка найти естественное необходимое и достаточное условие существования интерпретации заданного линейно упорядоченного множества в арифметике Пресбургера. Аналогичный вопрос также имеет смысл и для более общего класса автоматных структур. В этой области частичные результаты были ранее получены Б. Хусаиновым, С. Рубиным и Ф. Штефаном, а также Т. Горчаковым. 

Также мы надеемся прояснить логические вопросы, связанные с интерпретацией элементарной геометрии Тарского в формальной арифметике Пеано. Хорошо известно, что элементарная теория упорядоченных вещественно замкнутых полей взаимно интерпретируема с элементарной геометрией Тарского. Одна из задач, стоящих в этой области состоит в исследовании возможных интерпретаций таких теорий в формальной арифметике Пеано. При этом представляет интерес вопрос о том, насколько сильные арифметические аксиомы нужны для интерпретации элементарной геометрии. Также интересен вопрос об эквивалентности различных интерпретаций теории вещественно замкнутых полей в арифметике.

В рамках проекта мы также будем исследовать выразительные способности различных комбинаций модальных языков в топологической семантике, а также изучать алгоритмические и модельные свойства логик различных классов топологических пространств, в частности классов симплициальных компексов.

Научно-учебная группа «Доказательства и модели»

Публикации по проекту:


Агамов Р. Э. Modal logic with the difference modality of topological T0-spaces / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2019. No. 1810.02150 .
Zapryagaev A. Interpretations of Linear Orderings in Presburger Arithmetic / Cornell University. Series arxive "math". 2019. No. 1911.07182.