• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Развитие комбинаторных, гомологических и геометрических методов в теории пространств модулей алгебраических кривых и их отображений с приложениями к проблемам математической физики

Приоритетные направления развития: математика
2019

Цель работы

Развитие общего подхода к разнообразным вопросам, находящимся на стыке теории интегрируемых систем с теорией представлений квантовых и бесконечномерных групп и алгебр.

Используемые методы

Алгебраический и теоретико-представленческий анализ классических и квантовых теорий поля, статистической физики и случайных процессов, исследование интегрируемых структур стоящих за калибровочными киверными теориями и анализ их соответствия с двумерными конформными теориями поля, развитие комбинаторных, гомологических и геометрических методов в теории пространств модулей различных геометрических и аналитических структур с приложениями к проблемам математической физики.

Результаты работы

Организационные результаты:

Лаборатория подготовила  и опубликовала 26 статей в журналах, индексируемых системами “Мир науки" и Скопус (все с аффилиацией НИУ ВШЭ и с благодарностью Программе “5-100”, все в квартилях Q1/Q2. Подготовлено также 4 статьи принятых в печать. Эти публикации послужили основой для 40 докладов на международных конференциях.

Лаборатория организовала и провела международную конференцию "Классические и квантовые интегрируемые системы" (С.Петербург, 22-26 июля 2019г.), международную конференцию “ "Вертексные алгебры и геометрия пространств модулей"” (Москва, 20-24-9 апреля 2019г.), 4-ю международную школу-конференцию по теории струн, интегрируемым моделям и теории представлений (Москва, 20-26 января 2019г.), международную школу-конференцию «Передовые методы современной теоретической физики: интегрируемые и стохастические системы» (Дубна, 29 июля – 2 августа 2019г), а также  проводила еженедельный семинар по математической физике, семинары в сотрудничестве  с ведущими зарубежными специалистами и другие мероприятия, содействующие активизации научной и, в частности, ориентированных на молодых учёных, аспирантов и студентов.

Лаборатория пригласила и организовала прием ведущих зарубежных специалистов, которые прочитали 4 курса лекций, посвященных передовым исследованиям различных областях математики и математической физики, в том числе:  профессоров В. Рубцова и В. Доценко (Франция), профессора П. Тамарофф  (Ирландия) и Н. Масатоши (Япония).

Наиболее значимые научные результаты:

Рассмотрены эллиптические решения интегрируемых нелинейных дифференциальны и разностных уравнений (уравнения Кадомцева-Петвиашвили, B-версии уравнения Кадомцева-Петвиашвили, двумеризованной цепочки Тода) и получены уравнения движения для их полюсов.

Был исследован специальный класс квантовых нединамических R-матриц со спектральным параметром и в фундаментальном представлении группы GL_N, которые представляют собой тригонометрические решения ассоциативного уравнения Янга-Бакстера. Они использовались для построения интегрируемых релятивистских волчков типа Эйлера-Арнольда. Для этих волчков были описаны пары Лакса со спектральным параметром, тензоры инерции и пуассоновы структуры.

Для квантовых интегрируемых моделей, разрешимых вложенным алгебраическим анзацем Бете и обладающих gl(N)-инвариантной R-матрицей, мы изучаем два типа векторов Бете. Первый тип связан с исходной матрицей монодромии, а второй тип связан с матрицей монодромии, тесно связанной с обратной матрицей монодромии. Мы показываем, что эти два типа векторов Бете совпадают с точностью до нормировки и перестановки параметров Бете. Чтобы доказать это соответствие, мы используем токовый подход. Это тождество дает новые комбинаторные соотношения для скалярных произведений векторов Бете.

Мы изучаем представления квантовой тороидальной алгебры gl_1 при q=t. Мы строим явную конструкцию твистованных фоковских модулей с произвольным наклоном n'/n. Как векторное пространство, оно естественно отождествляется с представлениями уровня 1 аффинной gl_n. В качестве приложения, мы доказываем соотношение на q-деформированные конформные блоки, которое было выдвинуто в качестве гипотезы при изучении q-деформации соответствия между изомонодромной деформацией и CFT.

Мы изучаем обобщения соответствия между уравнениями Пенлеве и калибровочными теориями на специальный случай SU(2) N=2* теории. Мы показываем, что статсумма Некрасова-Окунькова этой калибровочной теории даёт явное комбинаторное выражение и формулу в виде детерминанта Фредгольма для тау-функции, описывающей изомонодромные деформации SL_2 плоских связностей на торе с одним проколом. Также мы обобщаем эти результаты на случай SL(N) плоских связностей на торе с произвольным количеством проколов.

Мы построили соответствие между классом кластерных интегрируемых систем и спиновыми цепочками в контексте их соответствия 5-мерным суперсимметричным калибровочным теориям. Было показано что gl_N цепочки XXZ-типа на M узлах изоморфны кластерным интегрируемым системам с многоугольниками Ньютона в виде прямоугольника размера NxM и двудольным графом в форме сетки-рабицы.

Определяется семейство коммутативных подалгебр Бете в янгиане  Y(g). Выясняется, при каких условиях на начальные данные подалгебры Бете являются свободными, а при каких максимальными коммутативными подалгебрами янгиана. Исследуются два способа компактифицировать пространство параметров подалгебр Бете -- конструкция предельных подалгебр, дающая плоское семейство подалгебр и чудесная компактификация группы G, которая даёт неплоское семейство подалгебр. Описываются подалгебры, соответствующие общим точкам в каждом страте чудесной компактификации группы G.

Для широкого класса бесконечномерных ассоциативных алгебр (обобщенных янгианов) построены производящие функции, являющиеся аналогами элементарных симметрических функций и доказана их коммутативность при произвольных значениях спектральных параметров. Таким образом показано, что коэффициенты разложения элементарных симметрических функций по обратным степеням параметра генерируют коммутативную подалгебру Бете в обобщенном янгиане.

Установлены точные законы больших чисел для двух аддитивных по времени величин в статистической модели RPM (Raise and Peel Model). Найдено число плиток, удаляемых лавинами за заданный промежуток времени, а также вычислено общее число глобальных лавин за этот промежуток.

Систематизирован и развит графический подход к исследованиям квантовых интегрируемых вершинных статистических моделей и соответствующим квантовым спиновым цепочкам. Предъявлены графические формы условия унитарности и кроссинг-соотношений. Условия коммутативности операторов переноса на решетках с граничными условиями выведены графическим методом.

Для неоднородной редуцированной матрицы плотности и произвольной простой алгебры Ли найдены функциональные уравнения в виде редуцированного квантового уравнения Книжника-Замолодчикова. Это уравнение позволяет проводить исследования корреляционных функций при произвольной температуре, а также изучать основное состояние модели.

Предложена конструкция интегрируемой модели через проективный предел модели Калоджеро-Сазерленда N фермионных частиц при стремлении числа частиц к бесконечности. Получены явные формулы для предела операторов Данкла и для коммутирующих гамильтонианов в терминах вершинных операторов.ф

Публикации по проекту:


Бычков Б. С., Михайлов А. В. Полиномиальные инварианты графов и иерархии линейных уравнений // Успехи математических наук. 2019. Т. 74. № 2. С. 189-190. doi
Ivan Losev. Derived Equivalences for Symplectic Ref lection Algebras // International Mathematics Research Notices. 2019. No. 00. P. 1-31. doi
Nirov K. S., Razumov A. Vertex Models and Spin Chains in Formulas and Pictures // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2019. Vol. 15. No. 68. P. 1-67. doi
Ильин А. И. О максимальности некоторых коммутативных подалгебр Янгианов // Функциональный анализ и его приложения. 2019. Т. 53. № 4. С. 85-88. doi
Gurevich D., Pavel Saponov, Talalaev D. KZ equations and Bethe subalgebras in generalized Yangians related to compatible R-matrices // Journal of Integrable Systems. 2019. Vol. 4. No. 1. P. xyz005. doi
Берштейн М. А., Гавриленко П. Г., Маршаков А. В. Кластерные цепочки Тоды и функции Некрасова // Теоретическая и математическая физика. 2019. Т. 198. № 2. С. 179-214. doi
Ogievetsky O., Shlosman S. Critical con gurations of solid bodies and the Morse theory of MIN functions // Russian Mathematical Surveys. 2019. Vol. 74. No. 4. P. 631-657. doi
Bershtein M., Tsymbaliuk A. Homomorphisms between different quantum toroidal and affine Yangian algebras // Journal of Pure and Applied Algebra. 2019. Vol. 223. No. 2. P. 867-899. doi
Takebe T. Q-operators for higher spin eight vertex models with a rational anisotropy parameter // Letters in Mathematical Physics. 2019. Vol. 109. No. 8. P. 1867-1890. doi
Leonid Rybnikov, Mikhail Zavalin. Gelfand–Tsetlin Degeneration of Shift of Argument Subalgebras in Types B, C and D // Arnold Mathematical Journal. 2019. Vol. 5. No. 2-3. P. 285-313. doi
Зубов Д. И. Конечно-аддитивные меры на неустойчивых слоях диффеоморфизмов Аносова // Функциональный анализ и его приложения. 2019. Т. 53. № 3. С. 92-97. doi
Bonelli G., Gavrylenko P., Tanzini A., Del Monte F. Circular quiver gauge theories, isomonodromic deformations and $W_N$ fermions on the torus // Working papers by Cornell University. Series math "arxiv.org". 2019
Gavrylenko P., Bershtein M., Marshakov A. Cluster Toda Chains and Nekrasov Functions // Theoretical and Mathematical Physics. 2019. Vol. 198. No. 2. P. 157-188. doi
Zabrodin A. Matrix modified Kadomtsev-Petviashvili hierarchy // Theoretical and Mathematical Physics. 2019. Vol. 199. No. 3. P. 771-783. doi
Cafasso M., Gavrylenko P., Lisovyy O. Tau Functions as Widom Constants // Communications in Mathematical Physics. 2019. Vol. 365. No. 2. P. 741-772. doi
Marshakov A., Семенякин Н. С. Cluster integrable systems and spin chains // Journal of High Energy Physics. 2019. Vol. 100. No. 10. P. 1-52. doi
Povolotsky A. M. Laws of large numbers in the raise and peel model // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2019. No. 074003. P. 1-22. doi
Shapiro B., Yurii Burman. On Hurwitz--Severi numbers // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze. 2019. Vol. XIX. No. 1. P. 155-167. doi
S.M. Khoroshkin, M. G. Matushko. Fermionic limit of the Calogero-Sutherland system // Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 60. No. 7. P. 071706-1-071706-22. doi
Bershtein M., Shchechkin A. Painlevé equations from Nakajima–Yoshioka blowup relations // Letters in Mathematical Physics. 2019. Vol. 109. No. 11. P. 2359-2402. doi
Grekov A., Sechin I., Zotov A. Generalized model of interacting integrable tops // Journal of High Energy Physics. 2019. Vol. 10. No. 081. P. 1-32. doi
Krasnov T., Zotov A. Trigonometric Integrable Tops from Solutions of Associative Yang–Baxter Equation // Annales Henri Poincare. A Journal of Theoretical and Mathematical Physics. 2019. Vol. 20. No. 8. P. 2671-2697. doi
Ogievetsky O., Pyatov P. N. Quantum Matrix Algebras of BMW type: Structure of the Characteristic Subalgebra / Cornell University. Series math "arxiv.org". 2019. No. arXiv:1910.08551 .
Горский Е. А. Гомологии Хегора-Флоера // Успехи математических наук. 2019. Т. 74. № 1. С. 3-40. doi
Gorsky E., Mazin M., Vazirani M. Recursions for rational q,t-Catalan numbers / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Gorsky E., Schilling A., Hawkes G., Rainbolt J. Generalized q,t-Catalan numbers / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Gorsky E., Wedrich P. Evaluations of annular Khovanov-Rozansky homology / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Gorsky E., Hogancamp M., Mellit A., Nakagane K. Serre duality for Khovanov-Rozansky homology / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Gorsky E., Liu B., Moore A. Surgery on links of linking number zero and the Heegaard Floer d-invariant. / Cornell University. Series arxive "math". 2018.
Gorsky E., Carlsson E., Mellit A. The A_{q,t} algebra and parabolic flag Hilbert schemes. // Mathematische Annalen. 2019
Lyashik A., Pakuliak S., Ragoucy E., Slavnov N. New symmetries of gl(N)-invariant Bethe vectors // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2019. Vol. 2019. No. 4. P. 1-23. doi
Sergeev A. On rings of supersymmetric polynomials // Journal of Algebra. 2019. No. 517. P. 336-364. doi
Хельминк Г. Ф., Poberezhny V. A., Поленкова С. В. Strict versions of integrable hierarchies in pseudodifference operators and related Cauchy problems // Theoretical and Mathematical Physics. 2019. Vol. 198. No. 2. P. 197-214. doi
Zabrodin A. Time discretization of the spin Calogero-Moser model and the semi-discrete matrix KP hierarchy // Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 60. P.  033502-1-033502-14. doi
Makhlin I. FFLV-type monomial bases for type B // Algebraic Combinatorics. 2019. P. 305-322. doi
Grekov A., A. Zabrodin, A. Zotov. Supersymmetric extension of qKZ-Ruijsenaars correspondence // Nuclear Physics B. 2019. Vol. 939. P. 174-190. doi
Bai Y., Gorsky E., Kivinen O. Quadratic ideals and Rogers–Ramanujan recursions // The Ramanujan Journal. 2019. Vol. 13. P. 1-30. doi
Черняков Ю. Б., Харчев С. М., Левин А.М., Ольшанецкий М. А., Зотов А. В. Обобщенные модели Калоджеро и Тоды // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2019. Т. 109. № 2. С. 131-138. doi
Saponov P. A., Gurevich D. Braided Yangians // Journal of Geometry and Physics. 2019. Vol. 138. P. 124-143. doi
Pogrebkov A. Hirota Difference Equation and Darboux System: Mutual Symmetry // Symmetry. 2019. Vol. 11. No. 436. P. 1-11. doi