• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Версия для слабовидящихЛичный кабинет сотрудника ВШЭПоиск

Анализ стохастических явлений, описываемых дробными стохастическими уравнениями, динамикой Ланжевена с упругими соударениями, анализ экстремальных событий

Приоритетные направления развития: математика
2019

Цель работы

Моделирование сложных явлений, развивающихся в случайной среде, и разработка для них статистических процедур параметрического оценивания.

Используемые методы

Основным методом анализа в первой части проекта при рассмотрении аномальных диффузий являлся метод верхних функций, относящийся к вероятностным методам анализа случайных процессов. Также были привлечены мартингальные методы, а для выяснения характера решений – методы теории устойчивости и вещественного анализа. Для исследований по второй части проекта, касающейся анализа уравнений дробного порядка, потребовалось использование методов комплексного и функционального анализа, а также теории мартингалов. В третьей части проекта, затрагивающей вопросы моделирования динамики цен рисковых активов, при оценке параметров оказались необходимыми методы асимптотической статистики, методы оптимизации и теории меры. Методология четвертой части проекта, рассматривающей задачу оптимального распределения вакцины в модели эпидемии, основывалась на применении методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории численных методов оптимального управления.

Эмпирическая база исследования

Bloomberg, Bureau van Dijk, COMPUSTAT (Global), Thomson Reuters Eikon и другие базы финансовых данных.

Результаты работы

Проведено исследование аномальных диффузий, моделируемых при помощи процесса Орнштейна – Уленбека с переменными коэффициентами. Построены верхние функции, с вероятностью 1 мажорирующие траектории процесса перемещения. Осуществлена классификация диффузий по типу (нормальные диффузии, суб – или супердиффузии) в зависимости от поведения их верхних функций.

В классе дифференциальных уравнений дробного порядка применен вероятностный подход к анализу их решений. Показана возможность потраекторного интегрального представления, устойчивого относительно начальных условий и основных параметров. Проведено описание решений посредством операторно-значных аналитических функций, являющихся моментами выхода монотонных марковских процессов.

Исследована модель ценообразования активов при использовании многомерных процессов с измененным временем. Предложена модель, базирующаяся на устойчивых процессах и зависимостях с копулами Леви. Разработан метод моделирования, достаточно точно отражающий наблюдаемую корреляцию между ценами акций.

Рассмотрена задача оптимального распределения вакцины в модели эпидемии с двумя населенными центрами. Изучена зависимость оптимального распределения вакцины от параметров модели (доступного объема вакцины, интенсивности миграционных потоков, численности населения и др.). На основе проведенного анализа выработаны рекомендации по оптимальным правилам вакцинации.

Степень внедрения, рекомендации по внедрению или итоги внедрения результатов НИР

Рекомендации по внедрению. В качестве рекомендации предлагается осуществить проверку условий, используемых при построении модели, а также провести верификацию моделей на реальных данных.

Публикации по проекту:


Frikha N., Konakov V., Menozzi S. Well-posedness of some non-linear stable driven SDEs / Cornell University. Series arxive "math". 2019. No. 1910.05945. 
Veretennikov A. On polynomial recurrence for reliability system with a warm reserve / Cornell University. Series cond-mat "arxiv.org". 2019. 
Chaudru d. R. P., Menozzi S. On Multidimensional stable-driven Stochastic Differential Equations with Besov drift / Cornell University. Series arxive "math". 2019. 
Veretennikov A., Veretennikova M. On convergence rate for homogeneous Markov chains / Cornell University. Series - "Working papers by Cornell University". 2019. 
Manita O. A., Veretennikov A. On convergence of 1D Markov diffusions to heavy-tailed invariant density // Moscow Mathematical Journal. 2019. Vol. 19. No. 1. P. 89-106. doi
Veretennikov A. On Polynomial Recurrence for Reliability System with a Warm Reserve // Markov Processes and Related Fields. 2019. Vol. 25. P. 745-761. 
Kelbert M., Moreno-Franco H. A. HJB equations with gradient constraint associated with controlled jump-diffusion processes // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. No. 3. P. 2185-2213. doi
Kolokoltsov V. The probabilistic point of view on the generalized fractional partial differential equations // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2019. Vol. 22. No. 3. P. 543-600. doi
Molchanov S., Panov V. Limit theorems for the alloy-type random energy model // Stochastics. 2019. Vol. 91. No. 5. P. 754-772. doi
Molchanov S., Vainberg B. Population dynamics with moderate tails of the underlying random walk // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 2019. Vol. 51. No. 3. P. 1824-1835. doi
Grabchak M., Molchanov S. The alloy model: Phase transitions and diagrams for a random energy model with mixtures // Markov Processes and Related Fields. 2019. Vol. 25. No. 4. P. 591-613. 
Palamarchuk E. S. On Upper Functions for Anomalous Diffusions Governed by Time-Varying Ornstein-Uhlenbeck Process // Теория вероятностей и ее применения. 2019. Vol. 64. No. 2. P. 209-228. doi
Kelbert M., Chernov A., Shemendyuk A. Fair insurance premium level in connected SIR model under epidemic outbreak / Cornell University. Series - "Working papers by Cornell University". "arxive". 2019. No. 1910.04809v1. 
Differential Equations on Measures and Functional Spaces. Switzerland : Birkhauser/ Springer, 2019. 
Falaleev A., Konakov V. Convergence of some classes of random flights in Wasserstein distance / Cornell University. Series arxive "math". 2019. No. 1910.03862. 
Jabir J. M., Profeta C. A stable Langevin model with diffusive-reflective boundary conditions // Stochastic Processes and their Applications. 2019. Vol. 129. No. 11. P. 4269-4293. doi
Grabchak M., Molchanov S. Limit theorems for random exponentials: the bounded support case // Теория вероятностей и ее применения. 2019. Vol. 63. No. 4. P. 634-647. doi
Cranston M., Molchanov S. On the critical behavior of a homopolymer model // Science China Mathematics. 2019. Vol. 62. No. 8. P. 1463-1476. doi
Panov V., Samarin E. Multivariate asset-pricing model based on subordinated stable processes // Applied Stochastic Models in Business and Industry. 2019. Vol. 35. P. 1060-1076. doi