• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Анализ неопределенности в многомерной статистике

Приоритетные направления развития: компьютерно-математическое
2019

Цель работы

Разработка и анализ новых эффективных вычислительных статистических алгоритмов для высокоразмерных и сложных статистических задач, в частности, байесовское оценивание, оценка высокоразмерных ковариационных матриц, обнаружение сообществ в сетях, топологический анализ данных, оценивание барицентров.

Используемые методы

Методы и подходы, основанные на современной теории случайных матриц (например, методы преобразования Стилтьеса, метод ортогональных полиномов, метод моментов) и концентрации меры (например, Липшицева концентрация, информационное-транспортные неравенства);  методы аппроксимации в пространствах высокой или бесконечной размерности, основанные на методе Стейна (и его вариаций) и методе Фурье, теории гауссовских процессов, концентрации меры высокого порядка; методы, основанные на минимизации эмпирического риска, теории эмпирических процессов и ее обобщении на случай зависимых наблюдений; метод Фурье.

Эмпирическая база исследования

Финансовые данные в форме временных рядов: акции, опционы из базы данных Блюмберг. Модельные данные. Теоретические и прикладные научные публикации.

Результаты работы

  • Предложена бутстреп-процедура построения доверительных интервалов для спектральных проекторов ковариационных матриц в случае, когда выборка имеет многомерное гауссовское распределение. Доказаны оценки бутстреп-аппроксимации. Результаты опубликованы в журнале Probability Theory and Related Fields (Q1 WOS)

  • Доказаны неравенство сравнения и анти-концентрации для квадратов норм нецентрированных гауссовских элементов в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)

  • Для симметричных случайных матриц доказан локальный полукруговой закон Вигнера при оптимальных моментных ограничениях, а именно существовании момента порядка 4. Получены оценки локализации собственных значений и делокализации собственных векторов, установлены оценки скорости сходимости эмпирической спектральной функции распределения к функции распределения полукругового закона Вигнера в метрике Колмогорова. Результаты приняты к печати в журнале Journal of Theoretical Probability (Q3 WOS)

  • Для барицентров Буре-Васерштейна от эрмитовых положительно полуопределенных матриц доказана центральная предельная теорема в общем случае, а также получены неасимптотические неравенства концентрации в субэскпоненциальном случае. Результаты представлены в препринте ArXiv.

  • Предложен новый алгоритм оценки гладких многообразий, основанный на идее структурной адаптации. Доказаны новые верхние и нижние оценки на точность восстановления многообразий в терминах метрики Хаусдорфа. Подготовлен препринт ArXiv.

  • Получено решение (3,2)-задачи для функции стоимости c=xyz на кубе [0,1]^3 для случая, когда маргиналами являются двумерные меры Лебега на единичных квадратах. 2) Получено решение соответсвующей двойственной задачи. 3) Доказана общая теорема о двойственности для (n,k)-задачи. Результаты опубликованы в журнале Calculus of variations (Q1 WOS)

  • Изучена проблема статистических выводов для Леви процессов типа скользящего среднего вида Z_{t}=\int_{\R}K(t-s) dL_{s},  t\in R, где K детерминированное ядро и L Леви процесс. В частности, была рассмотрена проблема оценивания меры Леви процесса L на основе его низкочастотных наблюдений. Построена состоятельная оценка меры Леви, выведены порядки сходимости и поведение оценок проиллюстрировано на нескольких численных примерах.  С математической точки зрения, получены новые результаты по экспоненциальному смешиванию для Леви процессов типа скользящего среднего. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)

  • Изучена задача оценивания ковариационной матрицы \Sigma p мерного нормального вектора основываясь на n независимых зашумленных наблюдениях. Предполагалось только что распределение шума принадлежит некоторому непараметрическому классу. В этой высокоразмерной задаче предложен спектральный метод построения пороговых оценок, которые являются адаптивными к разреженности матрицы \Sigma. Получены оракульные неравенства для предложенных оценок и выведены неасимптотические минимаксные порядки сходимости, которые зависят только от \log p/n. Эмпирическое поведение предложенных оценок проиллюстрировано на нескольких численных примерах. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)

  • Мы определяем так называемый избранный перроновский вектор неотрицательной матрицы 𝐴 как предел собственных векторов регуляризации 𝐴+𝜀𝑀 при 𝜀→0.Доказано, что если матрица 𝑀одноранговая, то избранный вектор задается явной формулой и эффективно вычисляется методом простой итерации. При этом условие одноранговости существенно. Использование избранного собственного вектора помогает эффективно бороться с негативным эффектом кратных перроновских векторов и делает применимыми и устойчивыми многие алгоритмы, в которых задействованы большие разреженные матрицы. Результаты опубликованы в журнале Calcolo (Q1 WOS)

  • Показано, что композиция двух определенных преобразований функций на полупрямой дает вогнутую мажоранту; в частности, на классе неотрицательных вогнутых данные преобразования взаимно обратны. Данный результат применен к одной задаче теории операторов в гильбертовом пространстве и в теории квантовых систем. Результаты опубликованы в журнале Doklady Mathematics (Q3 WOS).

  • Пусть F_n функция распределения нормированной суммы н.о.о. случайных величин. В предположении, что распределение элементов имеет структуру свертки, показываются полиномиальные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме с дополнительной поправкой. Результаты опубликованы в Annals of Statistics (Q1 WOS)

Публикации по проекту:


Puchkin N., Spokoiny V. Structure-adaptive manifold estimation / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Беломестный Д. В., Иосипой Л. Об оценке плотности распределения с помощью ряда Фурье // Управление большими системами: сборник трудов. 2019. № 82. С. 28-43. doi
Belomestny D., Panov V., Woerner J. Low-frequency estimation of continuous-time moving average Levy processes // Bernoulli: a journal of mathematical statistics and probability. 2019. Vol. 25. No. 2. P. 902-931. doi
Гасников А. В., Тюрин А. И. Быстрый градиентный спуск для задач выпуклой минимизации с оракулом, выдающим (δ, L)-модель функции в запрошенной точке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59. № 7. С. 1137-1150.
Bobkov S. KHINCHINE’S THEOREM AND EDGEWORTH APPROXIMATIONS FOR WEIGHTED SUMS // Annals of Statistics. 2019. Vol. 47. No. 3. P. 1616-1633. doi
Kolesnikov A., Gladkov N., Zimin A. On multistochastic Monge–Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2019. Vol. 58. No. 173. P. 1-33. doi
Bobkov S., Goetze F., Sambale H. Higher order concentration of measure // Communications in Contemporary Mathematics. 2019. Vol. 21. No. 3. P. 1-31. doi
Belomestny D., Comte F., Genon-Catalot V. Sobolev-Hermite versus Sobolev nonparametric density estimation on R // Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 2019. Vol. 71. No. 1. P. 29-62. doi
Protasov V. Y. How to make the Perron eigenvector simple // Calcolo. 2019. Vol. 56. No. 2. P. 1-11. doi
Belomestny D., Kraetschmer V., Hübner T., Nolte S. Minimax theorems for American options without time-consistency // Finance and Stochastics. 2019. Vol. 23. P. 209-238. doi
Belomestny D., Trabs M., Tsybakov A. Sparse covariance matrix estimation in high-dimensional deconvolution // Bernoulli: a journal of mathematical statistics and probability. 2019. Vol. 25. No. 3. P. 1901-1938. doi
Гасников А. В. АДАПТИВНЫЙ ПРОКСИМАЛЬНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59. № 5. С. 889-894. doi
Gasnikov A. Optimal Tensor Methods in Smooth Convex and Uniformly Convex Optimization, in: Proceedings of Machine Learning Research Vol. 99: Conference on Learning Theory, 25-28 June 2019, Phoenix, AZ, USA. PMLR, 2019.. , 2019.
Naumov A., Spokoiny V., Ulyanov V. V. Bootstrap confidence sets for spectral projectors of sample covariance // Probability Theory and Related Fields. 2019. Vol. 174. No. 3-4. P. 1091-1132. doi
Goetze F., Naumov A., Spokoiny V., Ulyanov V. V. Large ball probability, Gaussian comparison and anti-concentration // Bernoulli: a journal of mathematical statistics and probability. 2019. Vol. 25. No. 4(A). P. 2538-2563. doi
Gasnikov A., Tyurin A. Fast Gradient Descent for Convex Minimization Problems with an Oracle Producing a (δ, L)-Model of Function at the Requested Point / Пер. с рус. // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019. Vol. 59. No. 7. P. 1085-1097. doi
Protasov V. Y., Shirokov M. On Mutually Inverse Transforms of Functions on a Half-Line / Пер. с рус. // Doklady Mathematics. 2019. Vol. 100. No. 3. P. 1-4.
Vorontsova E., Gasnikov A., Dvurechensky P., Gorbunov E. Accelerated Gradient-Free Optimization Methods with a Non-Euclidean Proximal Operator / Пер. с рус. // Automation and Remote Control. 2019. Vol. 80. No. 8. P. 1487-1501. doi
Гасников А. В., Двуреченский П. Е., Воронцова Е., Горбунов Э. Ускоренные безградиентные методы оптимизации с неевклидовым проксимальным оператором // Автоматика и телемеханика. 2019. Т. 80. № 8. С. 1487-1501. doi
Belomestny D., GUGUSHVILI S., SCHAUER M., SPREIJ P. NONPARAMETRIC BAYESIAN INFERENCE FOR GAMMA-TYPE LEVY SUBORDINATORS // Communications in Mathematical Sciences. 2019. Vol. 17. No. 3. P. 781-816. doi

См. также

Ключевые слова