Цель работы
Разработка и анализ новых эффективных вычислительных статистических алгоритмов для высокоразмерных и сложных статистических задач, в частности, байесовское оценивание, оценка высокоразмерных ковариационных матриц, обнаружение сообществ в сетях, топологический анализ данных, оценивание барицентров.
Используемые методы
Методы и подходы, основанные на современной теории случайных матриц (например, методы преобразования Стилтьеса, метод ортогональных полиномов, метод моментов) и концентрации меры (например, Липшицева концентрация, информационное-транспортные неравенства); методы аппроксимации в пространствах высокой или бесконечной размерности, основанные на методе Стейна (и его вариаций) и методе Фурье, теории гауссовских процессов, концентрации меры высокого порядка; методы, основанные на минимизации эмпирического риска, теории эмпирических процессов и ее обобщении на случай зависимых наблюдений; метод Фурье.
Эмпирическая база исследования
Финансовые данные в форме временных рядов: акции, опционы из базы данных Блюмберг. Модельные данные. Теоретические и прикладные научные публикации.
Результаты работы
-
Предложена бутстреп-процедура построения доверительных интервалов для спектральных проекторов ковариационных матриц в случае, когда выборка имеет многомерное гауссовское распределение. Доказаны оценки бутстреп-аппроксимации. Результаты опубликованы в журнале Probability Theory and Related Fields (Q1 WOS)
-
Доказаны неравенство сравнения и анти-концентрации для квадратов норм нецентрированных гауссовских элементов в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)
-
Для симметричных случайных матриц доказан локальный полукруговой закон Вигнера при оптимальных моментных ограничениях, а именно существовании момента порядка 4. Получены оценки локализации собственных значений и делокализации собственных векторов, установлены оценки скорости сходимости эмпирической спектральной функции распределения к функции распределения полукругового закона Вигнера в метрике Колмогорова. Результаты приняты к печати в журнале Journal of Theoretical Probability (Q3 WOS)
-
Для барицентров Буре-Васерштейна от эрмитовых положительно полуопределенных матриц доказана центральная предельная теорема в общем случае, а также получены неасимптотические неравенства концентрации в субэскпоненциальном случае. Результаты представлены в препринте ArXiv.
-
Предложен новый алгоритм оценки гладких многообразий, основанный на идее структурной адаптации. Доказаны новые верхние и нижние оценки на точность восстановления многообразий в терминах метрики Хаусдорфа. Подготовлен препринт ArXiv.
-
Получено решение (3,2)-задачи для функции стоимости c=xyz на кубе [0,1]^3 для случая, когда маргиналами являются двумерные меры Лебега на единичных квадратах. 2) Получено решение соответсвующей двойственной задачи. 3) Доказана общая теорема о двойственности для (n,k)-задачи. Результаты опубликованы в журнале Calculus of variations (Q1 WOS)
-
Изучена проблема статистических выводов для Леви процессов типа скользящего среднего вида Z_{t}=\int_{\R}K(t-s) dL_{s}, t\in R, где K детерминированное ядро и L Леви процесс. В частности, была рассмотрена проблема оценивания меры Леви процесса L на основе его низкочастотных наблюдений. Построена состоятельная оценка меры Леви, выведены порядки сходимости и поведение оценок проиллюстрировано на нескольких численных примерах. С математической точки зрения, получены новые результаты по экспоненциальному смешиванию для Леви процессов типа скользящего среднего. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)
-
Изучена задача оценивания ковариационной матрицы \Sigma p мерного нормального вектора основываясь на n независимых зашумленных наблюдениях. Предполагалось только что распределение шума принадлежит некоторому непараметрическому классу. В этой высокоразмерной задаче предложен спектральный метод построения пороговых оценок, которые являются адаптивными к разреженности матрицы \Sigma. Получены оракульные неравенства для предложенных оценок и выведены неасимптотические минимаксные порядки сходимости, которые зависят только от \log p/n. Эмпирическое поведение предложенных оценок проиллюстрировано на нескольких численных примерах. Результаты опубликованы в журнале Bernoulli (Q2 WOS)
-
Мы определяем так называемый избранный перроновский вектор неотрицательной матрицы 𝐴 как предел собственных векторов регуляризации 𝐴+𝜀𝑀 при 𝜀→0.Доказано, что если матрица 𝑀одноранговая, то избранный вектор задается явной формулой и эффективно вычисляется методом простой итерации. При этом условие одноранговости существенно. Использование избранного собственного вектора помогает эффективно бороться с негативным эффектом кратных перроновских векторов и делает применимыми и устойчивыми многие алгоритмы, в которых задействованы большие разреженные матрицы. Результаты опубликованы в журнале Calcolo (Q1 WOS)
-
Показано, что композиция двух определенных преобразований функций на полупрямой дает вогнутую мажоранту; в частности, на классе неотрицательных вогнутых данные преобразования взаимно обратны. Данный результат применен к одной задаче теории операторов в гильбертовом пространстве и в теории квантовых систем. Результаты опубликованы в журнале Doklady Mathematics (Q3 WOS).
-
Пусть F_n функция распределения нормированной суммы н.о.о. случайных величин. В предположении, что распределение элементов имеет структуру свертки, показываются полиномиальные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме с дополнительной поправкой. Результаты опубликованы в Annals of Statistics (Q1 WOS)
