• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Версия для слабовидящихЛичный кабинет сотрудника ВШЭПоиск

Численные и топологические методы исследования динамических систем, аппроксимации решений эволюционных уравнений и алгебро-геометрические структуры

Приоритетные направления развития: математика
2019

Цель работы

Основной целью проекта является развитие теории динамических систем и дифференциальных уравнений, исследование связанных с этой теорией вопросов теории слоений и теории групп, а также численное моделирование и аналитическое исследование систем с приложениями к физике, геофизике и инженерии.

Используемые методы

При решении задач проекта были использованы современные методы теории динамических систем, в том числе созданные в нижегородской школе динамических систем, основанной академиком А.А. Андроновым и долгое время руководимой Л.П. Шильниковым. Для достижения поставленных целей в направлении качественного исследования динамики использовались топологические и геометpические методы исследования глобальных свойств, аналитические методы изучения локальных свойств динамических систем на многообразиях и методы теории глобальных бифуркаций. Примененный Конли при доказательстве фундаментальной теоремы теории динамических систем подход выделения дуальных пар аттракторов и репеллеров будет положен в основу новых методов изучения глобальной динамики каскадов и построения для них энергетических функций. Наряду с этим был использован метод Нортона и Пью характеризации множества критических точек собственной гладкой функции. В рамках проекта были созданы также новые математические методы исследования многомерных динамических систем: была развита теория псевдогиперболических странных аттракторов диссипативных систем, изучены новые глобальные бифуркации диссипативных и гамильтоновых систем, развита концепция смешанной динамики для обратимых систем.

Эмпирическая база исследования

Для численного исследования динамических систем были применены современные методы параллельного программирования для многоядерных и многопроцессорных гетерогенных систем с помощью программно-аппаратной архитектуры CUDA. Для визуализации расчетов был использован язык Python.

Результаты работы

Проведенные в рамках проекта исследования объединены общей идеей развития качественной теории динамических систем. При этом динамика изучается как в классическом понимании, для однопараметрических семейств преобразований многообразия, так и для алгебро-геометрических структур и бесконечномерных эволюционных уравнений. Особое место в проекте занимают приложения теории динамических систем к исследованию конкретных моделей физики, биологии, инженерии. 

Большую часть исследования составляют топологические аспекты динамики. Понимание динамической системы, как континуального или дискретного семейства преобразований топологического многообразия, приводит к тесной связи качественных свойств системы с топологией несущего многообразия и ключевых инвариантных подмножеств. Так эффект дикого заузливания седловых сепаратрис трехмерного каскада, обнаруженный Д. Пикстоном в 1977 году, проявил существенные отличия каскадов от потоков. Стало понятно, что даже регулярные диффеоморфизмы, начиная с размерности 3, устроены гораздо сложнее своих непрерывных аналогов, в частности, в общем случае они не допускают энергетической функции Морса и не вкючаются в топологический поток. Участникам настоящего проекта О.В. Починке и Д.Д. Шубину удалось обнаружить проявление этого эффекта и для непрерывных динамических систем. Именно ими показано, что надстройка над нетривиальным диффеоморфизмом Пикстона является неособым потоком, у которого двумерное инвариантное многообразие седловой периодической траектории не является локально плоским.

В.З. Гринесом О.В. Починкой и Е.Я. Гуревич получено решение проблемы  Дж. Палиса о включении в диффеоморфизмов Морса-Смейла  в топологический поток для  класса диффеморофизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на сфере  размерности четыре и выше.   Дж. Палис получил необходимые условия включения диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутом многообразии Mn размерности n  в топологический поток и доказал, что эти условия являются также достаточными для случая n=2.  Для случая n=3 возможность дикого вложения замыканий сепаратрис седловых периодических точек является дополнительным препятствием включения каскадов Морса-Смейла в топологический поток. В ходе работы над проектом было показано, что для диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на сфере    Sn, n>3, подобных препятствий не существует и условия Палиса снова являются достаточными.

В проекте продолжены исследования по построению энергетических функций для различных систем. Так участниками проекта А.Е. Колобяниной, В.Е. Кругловым и О.В. Починкой сконструированы энергетические функции Морса для омега-устойчивых потоков без предельных циклов на поверхностях. Также показано, что для топологических потоков с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством на поверхности существует непрерывная энергетическая функция Морса. Для хаотических трехмерных диффеоморфизмов с динамикой источник-сток участники проекта М.К. Баринова, В.З. Гринес и О.В. Починка доказали существование гладкой энергетической функции.

В традиционном для нижегородской школы динамических систем направлении топологической классификации в рамках проекта также получены новые результаты. В.З. Гринес, О.В. Починка, в соавторстве с французским математиком Хр. Бонатти завершили многолетние исследования по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях. В.Е. Круглов, О.В. Починка и Д.Д. Шубин показали совпадение классов топологической сопряженности и эквивалентности для градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений на n-мерной сфере, а также смоделировали динамику таких систем посредством корневого графа-дерева, тем самым решив задачу реализации, являющуюся неотъемлемой частью полной классификации. А.И. Морозовым и О.В. Починкой сделан важный шаг к комбинаторному решению классификационной задачи поверхностных диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемой гетероклиникой. Именно, методом факторизации доказана конечность числа гетероклинических орбит для таких систем.    

В.З. Гринесом, Е.Д. Куренковым классифицированы сохраняющие ориентацию A-диффеоморфизмы ориентируемых поверхностей рода большего единицы, содержащих одномерные просторно расположенные совершенные аттракторы. Установлено, что вопрос о топологической классификации ограничений диффеоморфизмов на такие базисные множества сводится к задаче топологической классификации псевдоаносовских гомеоморфизмов с отмеченным множеством седловых особенностей. В частности, дано доказательство анонсированной А.Ю. Жировым и Р.В. Плыкиным топологической классификация A-диффеоморфизмов рассматриваемых поверхностей, неблуждающее множество которых состоит из одномерного просторно расположенного аттрактора и нульмерных источников.

В.З. Гринесом, Е.Я. Гуревич и Е.Д. Куренковым выделен класс градиентно-подобных потоков с поверхностной динамикой, сепаратрисы седловых состояний равновесия которых  обладают однозначным  асимптотическим поведением.  Системы с поверхностной динамикой естественным образом возникают как модели процессов, имеющих хотя бы одну периодическую переменную.  В ходе работы над проектом показано, что если сепаратрисы седловых состояний равновесия таких систем обладают дополнительным свойством, названным однозначным асимптотическим поведением, то классы топологической эквивалентности таких систем описываются модельными потоками, представляющими собой косые произведения потоков поверхности и окружности. Изучена также топология несущего многообразия таких систем.

В рамках проекта получены значительные продвижения в теории бифуркаций. Удалось найти частичное решение 33-ей проблемы Палиса-Пью о существовании устойчивого пути, соединяющего две структурно устойчивые системы. В.З. Гринесом и О.В. Починкой построен устойчивый путь в пространстве диффеоморфизмов трехмерного тора, соединяющий произвольный структурно устойчивый диффеоморфизм с двумерным растягивающимся аттрактором с ДА-диффеоморфизмом. Е.В. Ноздриновой и О.В. Починкой получено полное описание устойчивых изотопических классов градиентно-подобных диффеоморфизмов двумерной сферы.  

Н.И. Жуковой исследовались вполне геодезические слоения F произвольной размерности на n-мерных псевдоримановых многообразиях, метрика на слоях которых не вырождается, а дополнительное по ортогональности распределение является связностью Эресмана. Общепринятый график G(F) такого слоения, вообще говоря, является нехаусдорфовым многообразием, поэтому исследуется график GD(F) слоения F со связностью Эресмана D, введенный Н.И. Жуковой ранее, который всегда хаусдорфов. Доказывается, что на графике GD(F)  определена псевдориманова метрика, относительно которой индуцированное слоение и простые слоения, образованные слоями канонических проекций, являются вполне геодезическими. Доказано, что слои индуцированного слоения на исследуемом графике являются приводимыми римановыми многообразиями и дано описание их структуры. Рассмотрено приложение к графикам параллельных слоений на невырожденно приводимых псевдоримановых многообразиях. Показано, что любое слоение, полученное надстройкой гомоморфизма фундаментальной группы псевдориманова многообразия, относится к исследуемому классу слоений.

Н.И. Жуковой совместно с А.В. Багаевым получены следующие результаты по теории орбифолдов. Согласно гипотезе Черна характеристика Эйлера замкнутого аффинного многообразия должна обращаться в ноль. Доказана эквивалентность этой гипотезы Черна следующей гипотезе для орбифолдов: характеристика Эйлера--Сатаки компактного аффинного орбифолда равна нулю. Найдены условия, при выполнении которых компактный аффинный орбифолд имеет нулевую характеристику Эйлера-Сатаки.  Построены примеры.

Е.И. Яковлевым совместно с Т.А. Гончар исследовались причинные свойства расслоенных пространственно-временных многообразий. Любое такое многообразие представляет собой пространство главного расслоения, на котором заданы лоренцева метрика и временная ориентация, инвариантные относительно действия структурной группы. В случае пространственноподобности слоев оно индуцирует такие же конструкции на базе расслоения. Изучались следующие условия причинности: хронологичность, причинность, устойчивая и сильная причинность, глобальная гиперболичность. Доказано, что если базовое пространство-время удовлетворяет одному из указанных условий, то это верно и для расслоенного пространства-времени. Построены примеры, показывающие, что в общем случает обратное утверждение неверно.

Е.И. Яковлевым совместно с В.Ю. Епифановым решались задачи вычислительной топологии на триангулированных замкнутых трехмерных многообразиях. Использовались группы симплициальных гомологий и когомологий по модулю 2. Разработаны и строго обоснованы два эффективных алгоритма для вычисления индексов пересечения циклов размерностей 1 и 2. С помощью этих алгоритмов также можно построить базисы групп когомологий по заданным циклам, порождающим базис группы гомологий дополнительной размерности.

А.В. Ведениным построен исторически первый пример быстро сходящихся черновских аппроксимаций к решению эволюционного уравнения – модельный случай, уравнение теплопроводности на прямой. В.Д. Галкиным и Е.Ю. Каратецкой написана программа для ЭВМ, позволяющая численно исследовать скорость сходимости черновских аппроксимаций. В-третьих, И.Д. Ремизовым введено понятие аппроксимационных подпространств, возникающих в связи с теоремой Чернова; изучены простейшие свойства этих подпространств; на примере полугруппы сдвигов показано, что сходимость в теореме Чернова может быть как сколь угодно быстрой, так и сколь угодно медленной. Кроме того, И.Д. Ремизовым построены (и истолкованы как формулы Фейнмана с обобщёнными функциями под знаком интеграла) черновские аппроксимации для решения параболического уравнения с частными производными и с переменными коэффициентами относительно функции, определённой на многомерном вещественном линейном пространстве, это – первый шаг к исследованию диффузии на некомпактных многообразиях.

Значительная часть результатов проекта связана с развитием теории псевдогиперболических аттракторов, квазиаттракторов, смешанной динамики и применением полученных результатов для исследования прикладных задач. Под псевдогиперболическими понимается широкий класс аттракторов, хаотическая динамика которых сохраняется при возмущениях системы (изменении параметров). По данному направлению получены следующие результаты: изучены бифуркационные границы существования дискретного псевдогиперболического аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня; разработаны численные методы проверки псевдогиперболичности странных аттракторов многомерных потоков и диффеоморфизмов, обнаружены новые типы псевдогиперболических аттракторов; в трехмерных потоковых системах выделены возможные классы псевдогиперболических гомоклинических аттракторов, доказано, что к классу псевдогиперболических могут относиться только аттракторы лоренцевского типа, а также седловые аттракторы Шильникова. В отличие от псевдогиперболических аттракторов квазиаттракторы либо содержат устойчивые периодические траектории (с малыми бассейнами притяжения), либо такие траектории возникают при даже сколь угодно малых возмущениях. По данному направлению получены следующие результаты: построена классификация гомоклинических квазиаттракторы трехмерных потоков по типу состояния равновесия, принадлежащего аттрактору; предложены системы, демонстрирующие новые типы квазиаттракторов трехмерных потоков (седловой аттрактор Шильникова, аттрактор Ровеллы); разработаны сценарии возникновения гиперхаотических квазиаттракторов многомерных потоков; исследована хаотическая и гиперхаотичекская динамика системы, описывающий взаимодействие двух микропузырьков газа в жидкости и имеющей большое прикладное значение в медицинских приложениях (проведение ультразвуковых исследований, неинвазивная терапия, умная доставка лекарств); предложен новый механизм внезапного угасания нейронной активности, связанный с возникновением в нейронных ансамблях гомоклинических квазиаттракторов шильниковского типа; изучено влияние электрических и мемристорных связей на динамику ансамбля двух идентичных элементов Фитцхью-Нагумо. По направлению исследования смешанной динамики - нового третьего типа хаоса, характеризующегося неотделимостью диссипативных элементов динамики от консервативных, получены следующие результаты: обнаружено новое явление слияния странного аттрактора и репеллера, приводящее к образованию смешанной динамики; в неголономной модели кельтского камня обнаружены новые механизмы перехода от консервативной и диссипативной динамики к смешанной.

Публикации по проекту:


Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O. On Algorithms that Effectively Distinguish Gradient-Like Dynamics on Surfaces // Arnold Mathematical Journal. 2018. Vol. 4. No. 3-4. P. 483-504. doi
Zhukova N. Graphs of totally geodesic foliations on pseudo-Riemannian manifolds // Уфимский математический журнал. 2019. Vol. 11. No. 3. 
Bonatti C., Grines V., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds // Duke Mathematical Journal. 2019. Vol. 168. No. 13. P. 2507-2558. doi
Bagaev A. V., Zhukova N. An analog of Chern's conjecture for the Euler-Satake characteristic of affine orbifolds // Journal of Geometry and Physics. 2019. Vol. 142. P. 80-91. doi
Zhukova N. Graphs of totally geodesic foliations on pseudo-Riemannian manifolds // Уфимский математический журнал. 2019. Vol. 11. No. 3. P. 30-44. 
Казаков А. О., Баханова Ю. В., Козлов А. Д., Гонченко С. В., Гонченко А. С. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2019. Т. 27. № 5. C. 7-52. doi
Казаков А. О., Каратецкая Е. Ю., Сафонов К. А., Козлов А. Д. О классификации гомоклинических аттракторов трехмерных потоков // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 4. 
Колобянина А. Е., Круглов В. Е. Энергетическая функция для Омега-устойчивых потоков без предельных циклов на поверхностях // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 4. C. 460-468. doi
Korotkov A., Kazakov A., Леванова Т. А. Effects of memristor-based coupling in the ensemble of FitzHugh-Nagumo elements // European Physical Journal: Special Topics. 2019. Vol. 228. No. 10. P. 2325-2337. doi
Pochinka O., Galkina S., Shubin D. Modeling of gradient-like flows on n-sphere // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2019. Vol. 27. No. 6. P. 63-72. doi
Починка О. В., Босова А. А. О периодических данных отображения двумерного тора с одной седловой орбитой // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21. № 2. C. 164-174. doi
Жукова Н. И., Багаев А. В. Характеристика Эйлера-Сатаки компактных аффинных орбифолдов, in: Международная конференция «Современная геометрия и её приложения - 2019»: сборник трудов. Казань : Издательство Казанского университета, 2019. С. 9-16. 
Pochinka O., Morozov A. Morse-Smale surfaced diffeomorphisms with orientable heteroclinic. // Journal of Dynamical and Control Systems. 2020. Vol. 26. No. 4. P. 629-639. doi
Гонченко А. С., Самылина Е. А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2019. Т. 62. № 5. C. 412-428. doi