• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Классическая, категорная и некоммутативная алгебраическая геометрия, специальные многообразия и геометрическая теория представлений

Приоритетные направления развития: математика
2019

Цель работы

Основной целью научного исследования лаборатории являются получение и публикация новых результатов в области алгебраической и дифференциальной геометрии.

Используемые методы

Исследования носят теоретический характер.

Значительная часть используемых методов были ранее предложены в работах с участием членов исследовательского коллектива. Среди них:

  • активное использование производных категорий в алгебро-геометрических вопросах;

  • использование исключительных наборов, полуортогональных разложений и гомологической проективной двойственности;

  • использование методов некоммутативной геометрии;

  • использование бирациональных методов и программы минимальных моделей;

  • использование геометрических методов в теории представлений;

  • использование гомологических методов.

Эмпирическая база исследования

Математика не оперирует такими понятиями.

Результаты работы

Были получены значительные результаты по основным темам, заявленным на 2019-й год:

  1. Производные категории

  2. Гомологические и мотивные методы в некоммутативной геометрии

  3. Специальные многообразия

  4. Классическая геометрия

  5. Геометрическая теория представлений

В работе научного сотрудника ЛАГ А.Г. Кузнецова (совместной с А. Перри) был полностью изучен вопрос о гомологической проективной двойственности для квадрик. Этот вопрос связан с классической проективной двойственностью, которая сопоставляет невырожденной квадрике в проективном пространстве другую невырожденную квадрику в двойственном пространстве (в механикt эта конструкция известна как преобразование Лежандра). Гомологическая проективная двойственность ‒ это предложенное Кузнецовым некоторое время назад далеко идущее обобщение классической двойственности, которое позволяет униформным и регулярным образом доказать массу глубоких теорем о структуре производных категорий когерентных пучков на алгебраических многообразиях, и полуортогональных разложений в них. Пионерские работы Кузнецова получили широкое мировое признание, и метод гомологической проективной двойственности сейчас используется десятками исследователей по всему миру. Однако даже в классическом случае квадрик, гомологическая проективная двойственность ведет себя гораздо сложнее, и описание двойственных многообразий до настоящего времени не было известно.

Такое описание А.Г. Кузнецовым и А. Перри полностью получено. Оказалось, что класс квадрик необходимо расширить: помимо просто гиперповерхностей степени два, следует рассматривать двулистные накрытия проективных пространств, разветвленные в таких гиперповерхностях. Кроме того, необходимо различать четномерные и нечетномерные квадрики, а также выйти в некоммутативную область, и рассматривать пучки модулей над некоторыми алгебрами Адзумая ранга 4. Если правильно сделать все эти обобщения, то гомологическая проективная двойственность приобретает законченный вид, и допускает полное и явное описание. В работе существенно используется ранее введенная Кузнецовым техника категорного джойна.

В работе заведующего лабораторий Д.Б. Каледина (совместно со стажером ЛАГ А.А. Коноваловым и аспирантом НИУ ВШЭ К. Магидсоном) изучался вопрос о связи вырождения некоммутативной версии спектральной последовательности Ходжа-де Рама для гладких собственных ДГ-алгебр над полем характеристики 0, и понятий алгебраической топологии, таких как алгебры над спектром сфер. Само вырождение было доказано Д.Б. Калединым некоторое время назад, по методу Делиня и Иллюзи, использующему сведение в положительную характеристику. При этом аналогичная теорема о вырождении в положительной характеристике, вообще говоря, неверна ‒ на алгебру требуется наложить дополнительные условия (которые приходится отдельно проверять). Одно из этих условий численное, и смысл его до настоящего времени был непонятен. В новой работе он полностью прояснен. Оказалось, что численное условие можно заменить на содержательное: требуется, чтобы алгебра поднималась до алгебры над спектром сфер. Это позволило значительно упростить и спрямить исходное доказательство Д.Б. Каледина: процедура редукции делается сразу над спектром сфер, и все дополнительные условия выполнены автоматически. Это открывает возможность для обобщений ‒ например, на случай Z/2Z-градуированных ДГ-алгебр. Кроме того, становится ясно, что теорема о вырождении, сама по себе чисто алгебраическая, с необходимостью требует для своего доказательства методов алгебраической топологии и стабильной теории гомотопий.

В работе научного сотрудника ЛАГ М.Ф. Финкельберга (совместно с А. Браверманом и Х. Накаджимой) был сделан важнейший шаг к математически корректному построению т.н. "кулоновской ветви" суперсимметричных квантовых теорий поля в размерности 4. Кулоновская (а также хиггсовкая) ветвь ‒ это некоторые гиперкэлеровые многообразия, существование которых было предсказано физиками из соображений теории струн, и которые имеют массу применений как в физике, так и в математике, особенно в геометрической теории представлений. Однако в отличие от хиггсовской ветви, которая давно и хорошо понята, кулоновская ветвь до самого недавнего времени даже не имела корректного математического определения. Первый шаг к такому определению был сделан в пионерской работе Х. Накаджимы, который предсказал, что голоморфные функции на кулоновской ветви отвечают некоторым классам критических когомологий бесконечномерного грассманиана. В работе этого года М.В. Финкельберг, А. Браверман и Х. Накаджима построили ключевую часть этого соответствия ‒ а именно, коммутативное ассоциативное умножение на предсказанном Накаджиме пространстве когомологий. Для этого, в частности, потребовалось это пространство переосмыслить, и отождествить критические когомологии с обычными когомологиями другого, меньшего пространства. На этом меньшем пространстве умножение затем строится с помощью конструкции свертки. После этой работы для завершения программы Х. Накаджимы остается только построить на пространстве когомологий скобку Пуассона, и можно ожидать, что в ближайшем будущем это будет также сделано.

В серии работ стажера-исследователя ЛАГ К.В. Логинова изучались полустабильные однопараметрические вырождения гладких многообразий Фано. Хорошее понимание однопараметрических вырождений, и условия полустабильности на них ‒ ключевой шаг как в построении пространства модулей многообразий, так и в большом количестве чисто геометрических теорем о структуре многообразий и их семейств. Полная классификация полустабильных вырождений поверхностей типа К3, данная в свое время В.С. Куликовым, явилась настоящим прорывом в геометрии таких поверхностей. Классификация В.С. Куликова дается в терминах на первый взгляд весьма грубого инварианта ‒ так называемого двойственного комплекса специального слоя. В самом интересном случае максимального вырождения этот комплекс ‒ триангуляция двумерной сферы. С современной точки зрения, двойственный комплекс также понимается как "существенный скелет" пространства Берковича, что на первый взгляд есть куда более тонкий инвариант, и ожидается, что для многообразий Калаби-Яу максимальные вырождения также дают триангуляции сфер. Для многообразий других типов точных предсказаний нет, но имеется один общий результат: в работе Я. Коллара и соавторов доказано, что двойственный комплекс полустабильного вырождения гладкого рационально-связного многообразия стягиваем.

К. Логинов изучил вырождения наиболее классических рационально-связных многообразий ‒ многообразий Фано ‒ и доказал удивительный результат, который на порядок сильнее и точнее результата Коллара. Оказывается, что, в любом размерности, двойственный комплекс полустабильного вырождения гладкого многообразия Фано гомеоморфен симплексу (причем размерности не выше, чем размерность многообразия, и случай максимального вырождения отвечает случаю максимальной размерности). Кроме того, Логинов изучил монодромию максимальных полустабильных вырождений, и получил массу конкретных геометрических результатов в размерностях два и три.

В работе заместителя заведующего Лабораторией М.С. Вербицкого (совместно с Дж. Соломоном) изучалась категория Фукая симплектического многообразия, которое также является гиперкэлеровым. Используя метод гипекэлерова вращения, т.е. перехода к достаточно общей комплексной структуре, происходящей из кватернионного действия, они смогли показать, что та часть категории Фукая, которая отвечает голомофным лагранжевым многообразиям, формальна ‒ т.е. все высшие квантовые поправки к композициям морфизмов обращаются в ноль. Это работа, в частности, объясняет тот известный факт, что в квантовом умножении на когомологиях гиперкэлерова многообразия нет инстантонных поправок, и является далеким его обобщением: рассматривается вся категорию Фукая, а не только ее центр.

Публикации по проекту:


Ionov A. Primitive forms for Gepner singularities // Journal of Geometry and Physics. 2019. Vol. 140. P. 125-130. doi
De Deken O., Lowen W. Filtered cA_∞-Categories and Functor Categories // Applied Categorical Structures. 2018. Vol. 26. No. 5. P. 943-996. doi
Rumynin D., Vakhrameev D., Westaway M. Covering Groups of Nonconnected Topological Groups and 2-Groups // Communications in Algebra. 2019. Vol. 47. No. 12. P. 5207-5217. doi
Verbitsky M., Ornea L. Supersymmetry and Hodge theory on Sasakian and Vaisman manifolds / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Finkelberg M., Braverman A., Ginzburg V., Travkin R. Mirabolic Satake equivalence and supergroups / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Shramov K. Birational automorphisms of Severi-Brauer surfaces / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Shramov K., Cheltsov I., Park J., Ahmadinezhad H. Double Veronese cones with 28 nodes / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Shramov K., Przyjalkowski V. Automorphisms of weighted complete intersections / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Alexander B., Lex O., Ptacek R. M., Timorin V. Models for spaces of dendritic polynomials // Transactions of the American Mathematical Society. 2019. Vol. 372. No. 7. P. 4829-4849. doi
Polishchuk A. Moduli of curves with nonspecial divisors and relative moduli of A_∞-structures // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 2019. Vol. 18. No. 6. P. 1295-1329. doi
Verbitsky M., Mehrotra S., Markman E. Rigid hyperholomorphic sheaves remain rigid along twistor deformations of the underlying hyparkähler manifold // European Journal of Mathematics. 2019. Vol. 5. No. 3. P. 964-1012. doi
Abramyan S., Panov T. E. Higher Whitehead Products in Moment—Angle Complexes and Substitution of Simplicial Complexes // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2019. Vol. 1. No. 305. P. 1-21. doi
Soukhanov L. Non-Collapsible Dual Complexes and Fake del Pezzo Surfaces / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Kuznetsov A. G. Calabi–Yau and fractional Calabi–Yau categories // Journal fuer die reine und angewandte Mathematik. 2019. Vol. 2019. No. 753. P. 239-267. doi
Trepalin A., Loughran D. Inverse Galois problem for del Pezzo surfaces over finite fields / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Loginov K. Standard Models of Degree 1 del Pezzo Fibrations // Moscow Mathematical Journal. 2018. Vol. 18. No. 4. P. 721-737. doi
Polishchuk A., van der Bergh M. Semiorthogonal decompositions of the categories of equivariant coherent sheaves for some reflection groups // Journal of the European Mathematical Society. 2019. Vol. 21. No. 9. P. 2653-2749. doi
Bogomolov F. A., Fu H., Tschinkel Y. Torsion of elliptic curves and unlikely intersections, in: Geometry and Physics: Volume I: A Festschrift in honour of Nigel Hitchin. Oxford : Oxford University Press, 2018. doi P. 19-38. doi
Ornea L., Verbitsky M. Positivity of LCK Potential // Journal of Geometric Analysis. 2019. Vol. 29. No. 2. P. 1479-1489. doi
Verbitsky M., Solomon J. P. Locality in the Fukaya category of a hyperkähler manifold // Compositio Mathematica. 2019. Vol. 155. No. 10. P. 1924-1958. doi
Loginov K. On semistable degenerations of Fano varieties / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Kuznetsov A. G., Perry A. Homological projective duality for quadrics / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Verbitsky M., Vuletescu V., Ornea L. Flat affine subvarieties in Oeljeklaus–Toma manifolds // Mathematische Zeitschrift. 2019. Vol. 292. No. 3-4. P. 839-847. doi
Bogomolov F. A., Rovinsky M., Tschinkel Y. Homomorphisms of multiplicative groups of fields preserving algebraic dependence // European Journal of Mathematics. 2019. Vol. 5. No. 3. P. 656-685. doi
Prokhorov Y., Mori S. Threefold extremal contractions of type (IIA), II, in: Geometry and Physics: Volume I: A Festschrift in honour of Nigel Hitchin. Oxford : Oxford University Press, 2018. doi P. 623-652. doi
Biswas I., Mj M., Verbitsky M. Stable Higgs bundles over positive principal elliptic brations // Complex Manifolds. 2018. Vol. 5. No. 1. P. 195-201. doi
Polishchuk A. Fundamental Matrix Factorization in the FJRW-Theory Revisited // Arnold Mathematical Journal. 2019. Vol. 5. No. 1. P. 23-35. doi
Polishchuk A., Hua Z. Shifted Poisson geometry and meromorphic matrix algebras over an elliptic curve // Selecta Mathematica, New Series. 2019. Vol. 25. No. 3. P. 1-45. doi
Lekili Y., Polishchuk A. Associative Yang–Baxter equation and Fukaya categories of square-tiled surfaces // Advances in Mathematics. 2019. Vol. 343. P. 273-315. doi
Finkelberg M. V., Goncharov E. Coulomb branch of a multiloop quiver gauge theory / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Verbitsky M., Amerik E. Contraction centers in families of hyperkahler manifolds / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Verbitsky M., Ornea L. Twisted Dolbeault cohomology of nilpotent Lie algebras / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Kuznetsov A. G., Debarre O. Gushel-Mukai varieties: moduli / Cornell University. Series arxive "math". 2018.
Perry A., Kuznetsov A. G. Categorical cones and quadratic homological projective duality / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Prokhorov Y. Rationality of ℚ-Fano threefolds of large Fano index / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Prokhorov Y., Duncan A., Cheltsov I., Blanc J. Birational self-maps of threefolds of (un)-bounded genus or gonality / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Прохоров Ю. Г., Mori S. Трехмерные экстремальные окрестности кривой с одной негоренштейновой точкой // Известия РАН. Серия математическая. 2019. Т. 83. № 3. С. 158-212. doi
Polishchuk A., Dyer B. NC-smooth algebroid thickenings for families of vector bundles and quiver representations // Compositio Mathematica. 2019. Vol. 155. No. 4. P. 681-710. doi
Campana F., Amerik E. Specialness and isotriviality for regular algebraic foliations // Annales de l'Institut Fourier. 2018. Vol. 68. No. 7. P. 2923-2950. doi
Angella D., Tomassini A., Verbitsky M. On non-Kähler degrees of complex manifolds // Advances in Geometry. 2019. Vol. 19. No. 1. P. 65-69. doi
Kurnosov N., Soldatenkov A., Verbitsky M. Kuga-Satake construction and cohomology of hyperkähler manifolds // Advances in Mathematics. 2019. Vol. 351. P. 275-295. doi
Blokh A., Oversteegen L., Timorin V. Perfect subspaces of quadratic laminations // Science China Mathematics. 2018. Vol. 61. No. 12. P. 2121-2138. doi
Зыкин А., Lebacque P. On M-Functions Associated with Modular Forms // Moscow Mathematical Journal. 2018. Vol. 18. No. 3. P. 437-472. doi
Ostrik V. Remarks on global dimensions of fusion categories // Contemporary Mathematics Series. 2019. Vol. 728. P. 169-180. doi
Krylov V., Перунов И. Generalized Slices for Minuscule Cocharacters / Cornell University. Series arxive "math". 2019.
Ostrik V., Etingof P. On semisimplification of tensor categories / Cornell University. Series arxive "math". 2019.