• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Разработка математических моделей, предназначенных для анализа исторических данных и прогноза поведения больших систем и управления ими

Приоритетные направления развития: компьютерно-математическое
2019

Цель работы

Разработка имитационных моделей и численных методов, предназначенных для восстановления по наблюдениям параметров сложных систем, среди которых система нескольких осцилляторов ван дер Поля и Курамоото с умеренно сильной связью, модель самоорганизованной критичности на самоподобной решётке, сеть рыночных агентов, обладающей неполной информацией о потребительском спросе.

Используемые методы

В зависимости от исследуемой сложной системы использовались следующие подходы:

А. Рассматривается система двух уравнений ван дер Поля с умеренно сильной связью между ними. Построен алгоритм, численно задающий предельный цикл этой системы. Определена процедура, которая оценивает достижение квази-периодического режима решением с произвольным начальным условием. Далее определяются «периоды» квазипериодических решений. В скользящем окне, протяжённость которого совпадает с вычисленным периодом, определяется корреляция стабилизировавшихся решений. По корреляции оценена связь между осцилляторами. Найденные оценки сравниваются с оценками связи между двумя осцилляторами Курамото. Получены условия на корреляцию между осцилляторами, при которых восстановление в обеих моделях приводит к близким результатам. Далее рассматривается система трёх уравнений Курамото. Непосредственная связь между крайними осцилляторами не предполагается. Решая прямую задачу, мы находим фазу среднего осциллятора в предположении о независимости от времени собственных частот и заданных постоянных связях между осцилляторами. Установлены условия обеспечивающие устойчивость найденной фазы. Мы также решаем обратную задачу по восстановлению фаз в зависимости от связей между осцилляторами. Стандартными методами дифференциальных уравнений устанавливается устойчивость восстановления. Определяются значения связи, требующие специального анализа устойчивости. В частности, установлены значения, при которых восстановление не существует или неустойчиво.

Б. Проведено моделирование сложных магнитоплазменных структур в магнитосферах планет солнечной системы. Показано, что высокие относительные концентрации ионов кислорода, равно как их относительно высокие температуры и дрейфовые скорости, приводят к существенному утолщению таких структур и формированию дополнительного масштаба вложенности.

В. Построен алгоритм, реализующий механизм Бака-Танга-Визенфельда на самоподобной решётке. Этот механизм характеризуется медленной постоянной нагрузкой системы и редким быстрым сбросом напряжения. В результате построенная система характеризуется колебаниями вокруг критического состояния. В исследовании оценён уровень напряжения системы, который ассоциируется с критическим состоянием. Установлено, что система, колеблясь вокруг критического уровня напряжения, демонстрирует степенное распределение событий по размерам на основной части распределения. В области наибольших событий имеет место «загиб» распределения вниз. Далее исследуется предсказуемость наибольших событий. Эффективность прогноза оценивается с помощью модифицированных ошибок первого и второго рода, которыми являются в данном случае доля непредсказанных событий и доля времени тревог. Простейший алгоритм прогноза событий основан на распределении времени между ними. В качестве эталона непредсказуемости используется показательное распределение времени между событиями. Мы анализируем численно близость наблюдаемого распределения между предсказываемыми событиями к показательному.

Г. Мы определяем структурную модель общего равновесия с сепарабельной функцией полезности потребителей и неопределённостью в спросе, которую наблюдают производители. Формулируются оптимизационные задачи потребителя и производителя, выписываются балансы, замыкающие соответствующую систему уравнений. Аналитически устанавливается корректность задачи – существование и единственность равновесия. Выписаны формулы, выражающие равновесные переменные через параметры задачи. Одним из параметров является стандартное отклонение случайной величины, задающей неопределённость. Вычисляя производную равновесных переменных по параметру, мы делаем вывод об их изменении под действием неопределённости.

Д. В качестве модели используется структурированный набор данных общего вида. Определяются классы используемых функций. Задача тестирования определяется на языке графов. Формулируется и решается задача недостижимости некоторых вершин. Эмпирическим путём определяется количество случайных тестов, необходимых для эффективной работы алгоритма.

Эмпирическая база исследования

Базы данных индексов солнечных пятен ISSN (http://www.sidc.be/silso/datafiles), групп солнечных пятен RGO (https://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch.shtml) и солнечных факелов (https://dataverse.harvard.edu/dataverse/solardynamo).

Результаты работы

А. Предложена численная процедура, выделяющая амплитуду и фазу осцилляторов, задаваемых двумя уравнениями ван дер Поля с умеренно сильной связью между ними. Установлено, что при положительной корреляции между решениями этих уравнений корректно решается обратная задача по восстановлению связи между ними. Найдены значения параметров соответствующих уравнений, при которых восстановление связи в моделях ван дер Поля и Курамото оказывается близким. В качестве приложения теоретических результатов проведено восстановление поля скоростей меридионального потока на Солнце. Проведён теоретический анализ модели Курамото с тремя осцилляторами, в которой связь между крайними осцилляторами осуществляется через средний осциллятор и влияние любых двух осцилляторов друг на друга симметрично. Установлена корректность прямой и обратной задачи для синхронизированных осцилляторов. Доказана единственность восстановления связи для почти всех значений фазовой разности и устойчивость этого восстановления. Полностью исследованы особые случаи значений фазовой разности между осцилляторами.

Б1. Развита гибридная модель сложной магнитоплазменной системы-тонкого токового слоя в плазме, состоящей из трех компонент: протонов, электронов и ионов кислорода. Показано, что соответствующие профили плотности тока, магнитного поля и плотности плазмы имеют многомасштабный вложенный характер.

Б2. В присутствии ионов кислорода толщина токового слоя может существенно увеличиваться по сравнению с протон-электронной плазмой. При относительной  концентрации тяжелых ионов выше 5%, их высокой тепловой и направленной скорости становятся заметными изломы (скачки производных) на профилях плотности тока и магнитного поля, свидетельствующие о смене областей доминирования разных сортов частиц.

Б3. Результаты данной работы согласуются с данными наблюдений на качественном и количественном уровне.

В. Представлено описание экстремальных событий в моделях самоорганизованной критичности на самоподобной решётке. Оценён показатель степенного закон графика повторяемости событий. Установлена близость распределения времени между экстремальными событиями к показательному распределению в терминах элементарных алгоритмов прогнозов и возникающих в них ошибках первого и второго рода. Показано, что отклонение этого распределения от показательного недостаточно для построения эффективного предвестника наступления экстремальных событий.          

Г. Оценено влияние неопределённости в спросе рыночных агентов на благосостояние в экономике при сепарабельных предпочтениях потребителя общего вида. Предложен механизм, объясняющий положительное влияние неопределённости на экономику через расширение возможностей рыночных агентов. В построенной структурной модели дано аналитическое описание равновесия и найдены достаточные условия, при которых указанный механизм имеет место.

Д. Разработан прототип инструмента для интерактивной кластеризации событий в журналах распределенных трейдинговых систем. Установлена эффективность предварительных тестов на стандартных примерах.

Публикации по проекту:


E. E. Grigorenko, Zelenyi L., Dibraccio G., Ermakov V., Shuvalov S., Malova H., V. Y. Popov, Halekas J. S., Mitchell D. L., Dubinin E. Thin Current Sheets of Sub‐ion Scales observed by MAVEN in the Martian Magnetotail // Geophysical Research Letters. 2019. Vol. 46. P. 6214-6222. doi
Zelenyi L., Malova H., Grigorenko E., Victor Popov, Delcourt D. Current sheets in planetary magnetospheres // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2019. Vol. 61. P. 1-12. doi
Parkhomenko E. I., Malova H. V., Grigorenko E. E., Popov V., Petrukovich A. A., Delcourt D. C., Kronberg E. A., Daly P. W., Zelenyi L. M. Acceleration of plasma in current sheet during substorm dipolarizations in the Earth’s magnetotail: Comparison of different mechanisms // Physics of Plasmas. 2019. Vol. 26. No. 4. P. 1-9. doi
Savostyanov A., Shapoval S., Shnirman M. G. The inverse problem for the Kuramoto model of two nonlinear coupled oscillators driven by applications to solar activity // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 401. P. 132160. doi
Домрин В. И., Малова Х. В., Попов В. Ю., Григоренко Е. Е., Петрукович А. А. ВЛИЯНИЕ ИОНОВ КИСЛОРОДА НА СТРУКТУРУ ТОНКОГО ТОКОВОГО СЛОЯ В ХВОСТЕ ЗЕМНОЙ МАГНИТОСФЕРЫ // Геомагнетизм и аэрономия. 2020. Т. 60. № 2. С. 173-186. doi
Savostianov A., Shapoval S., Shnirman M. Reconstruction of the coupling between solar proxies: When approaches based on Kuramoto and Van der Pol models agree with each other // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2020. Vol. 83. P. 105149. doi
E. V. Maiewski, Kislov R. A., Khabarova O. V., Malova H. V., V. Yu. Popov, Petrukovich A. A., Zelenyi L. M. Magnetohydrodynamic Modeling of the Solar Wind Key Parameters and Current Sheets in the Heliosphere: Radial and Solar Cycle Evolution // Astrophysical Journal. 2020. Vol. 892. No. 1. P. 1-17. doi
Dayana Mukhametshina, Shapoval S., Shnirman M. G. Self-Organized Criticality on Self-Similar Lattice: Exponential Time Distribution between Extremes, in: Proceedings of the MACSPro Workshop 2019 / Ed. by Irina Lomazova, Anna Kalenkova, Р. Яворский. Vol. 2478: CEUR Workshop Proceedings. CEUR-WS.org, 2019. P. 127-138.
Fomenko M., Alexander Shapoval. Modeling of Necessity Entrepreneurship via General Equilibrium Approach, in: Proceedings of the MACSPro Workshop 2019 / Ed. by Irina Lomazova, Anna Kalenkova, Р. Яворский. Vol. 2478: CEUR Workshop Proceedings. CEUR-WS.org, 2019. P. 185-190.

См. также

Разработка математических моделей и численных методов, предназначенных для использования эффекта синхронизации при прогнозе сложных систем

Разработка математических моделей, предназначенных для анализа исторических данных и прогноза поведения больших систем и управления ими

Агрегированная с многоагентным генетическим алгоритмом имитационная модель предприятия дистанционной торговли для решения задачи многокритериальной оптимизации

Метод имитационного моделирования для проектной оценки показателей безотказности структурно-сложной радиоэлектронной аппаратуры

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕВОЗОК, ЛОГИСТИКИ И ЦЕПОЧЕК ПОСТАВОК

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕВОЗОК, ЛОГИСТИКИ И ЦЕПОЧЕК ПОСТАВОК

Метод имитационного моделирования для проектной оценки показателей безотказности структурно-сложной радиоэлектронной аппаратуры

Ключевые слова