• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Разработка новых методов изучения интегрируемых систем и пространств модулей в геометрии, топологии и математической физике

2011

Коды по классификатору Elibrary:
27.00.00 Математика
27.01.00 Общие вопросы математики
27.01.05 Материалы общего характера

Цель и задачи исследования

Изучение связи между задачами квантовой теории поля, интегрируемыми системами и пространствами модулей алгебро-геометрической природы. Нахождение нетривиальных соответствий между классическимии квантовыми интегрируемыми задачами, выходящими за рамки клас-сического предела. А именно:

1) Обобщение матричной теоремы о деревьях и связанных с нею тео-рем типа теоремы Кеньона на произвольные системы операторовранга.
2) Исследование естественных квантований шести уравнений Пенлеве.
3) Отождествление производящей функции коммутирующих интегра-лов движения обобщенных интегрируемых спиновых цепочек отождествлена с классической τ-функцией иерархии солитонных уравнений.
4) Изучение пространств модулей отображений кривых с помощьюуниверсальных когомологических классов.
5) Приложение представлений Вейля к классическим задачам теорииинвариантов.
6) Исследование конфайнмента в суперсимметричных калибровочныхтеориях и объектов в фазе конфайнмента в сильной связи.
7) Исследование конформных блоков, отвечающих суперсимметрич-ным калибровочным теориям с нулевой бета-функцией, с дополнительной вставкой вырожденного оператора в пределе больших конформных размерностей.
8) Изучение гомологических свойств (в частности, гомологическихразмерностей) алгебры голоморфных функций и произвольных метризуемых алгебр Кёте.
9) Построение тропического варианта теории мультиособенностей иописание тропикализации множества систем алгебраических уравнений, составленных из данного набора мономов и имеющих предписанный набор особенностей множества решений.

Полученные результаты

Все поставленные задачи выполнены. В ходе работы над проектом намидостигнуты следующие продвижения по перечисленным выше направлениям исследований:
1) Описана подгруппа Ли групповой алгебры C[Sn], через элементы которой «длинный цикл» выражается по формуле, аналогичнойформуле для w-функции Гурвица. Найдено новое описание первогосомножителя в этой формуле, обобщающее классическую матрич-ную теорему о деревьях.
2) Соответствие Пенлеве Калоджеро распространено на вспомогательные линейные задачи, ассоциированные с уравнением Пенлеве. Одно из уравнений этой переопределенной системы являетсяусловием изомонодромной деформации для другого, и их совместность эквивалентна уравнению Пенлеве на неизвестную функцию, параметризующую коэффициенты. Мы показали, что эта линей-ная система, взятая в специальной калибровке, может быть преобразована к виду, в котором первое уравнение становится неста-ционарным уравнением Шредингера в мнимом времени с гамильтонианом, который является некоторым естественным квантова-нием классического гамильтониана уравнения Пенлеве при соответствии Пенлеве Калоджеро. Кратко основной результат можносформулировать так: для уравнения Пенлеве линеаризация (т.е. переход к вспомогательным линейным задачам, условием совместности которых оно является) эквивалнтна квантованию.
3) Исследован факт появления классической τ-функции в задаче о нахождении совместного спектра коммутирующих гамильтонианов2квантовых спиновых цепочек. Для любой обобщенной квантовойинтегрируемой спиновой цепочки определен T-оператор, представляющий собою производящую функцию специального вида длякоммутирующих интегралов движения системы. T-оператор явля-ется функцией бесконечного количества комплексных переменных (времен), одна из которых играет роль спектрального параметра,причем значения этой операторнозначной функции коммутируютпри всех значениях этих переменных и могут быть одновремен-но диагонализованы. Ключевой факт состоит в том, что наборфункциональных соотношений для интегралов движения (известные детерминантные формулы Чередника Бажанова Решетихина) эквивалентен уравнению Хироты для производящего T-оператора, что позволяет отождествить его с τ-функцией иерархии МКП (модифицированной иерархии КП) классических солитонныхуравнений. С более общей точки зрения этот факт позволяет говорить о возможности синтеза классической и квантовой интегрируемости и дополнении к традиционному принципу соответствия.
4) Потенциал Виттена Концевича был интерпретирован нами какпотенциал с потомками. Пользуясь универсальными классами напространстве модулей, мы вывели уравнения в частных производных на потенциал с потомками, что даёт возможность строить решения интегрируемых систем, исходя из геометрии пространствмодулей.
5) Мы отождествили Sln+1-изотипные компоненты глобального моду-ля Вейля с естественными подпространствами кольца многочленов,что даёт возможность эффективного использования всей мощи теории представлений алгебр токов в классических задачах теорииинвариантов.6) Мы показали, что объектами в фазе конфайнмента в сильной связи по-прежнему являются магнитные монополи, и что этот выводне зависит от выбора пути в пространстве массовых параметровтеории.
7) Конформные блоки, отвечающие суперсимметричным калибровоч-ным теориям с нулевой β-функцией, с дополнительной вставкой вырожденного оператора в пределе больших конформных размер-ностей вычисляются в терминах обобщенного препотенциала Виттена Зайберга асимметрично по параметрам деформации: одиниз них служит параметром квантования, а другой параметромнестационарности соответствующей квантовой задачи.
8) Мы показали, что для многообразия Штейна X и его замкнутого подмногообразия Y слабая гомологическая размерность алгебры H (Y) голоморфных функций на Y как модуля Фреше над алгеброй H (X) равна коразмерности Y в X. Получен аналогичныйрезультат для проективной размерности, когда X и Y обладаютсвойством Лиувилля. В случае, когда X обладает свойством Лиувилля, а Y гипервыпукло, показано, что проективная размерность H (Y) над H (X) равна размерности X. Для произвольной метризуемой алгебры Кёте λ(P) вычислена её глобальная размерность, биразмерность, слабая глобальная размерность и слабая биразмер-ность в терминах множества Кёте P.
9) Изучены страты большой размерности и коразмерности и разработаны методы тропической теории пересечений, позволяющие доказать тропическую версию формулы двойных точек. Подготовлены способы работы со смешанными расслоенными многогранниками и тропической теорией пересечения на уровне опорных функций многогранников. Дано определение дискриминанта системы k уравнений от n неизвестных для любых k и n, интерполирующее известные определения Тессье, Гельфанда Капранова Зелевинского, Штурмфельса и других, и наследующее их замечательные свойства. Главной идеей, использованной при получении всехэтих результатов, был учёт в определении дискриминанта такжеи особенности решений на бесконечности.

Области применимости полученных результатов.

Все результаты носят теоретический характер, являются новыми и интересными. Они способны существенно улучшить методику преподавания соответствующих математических дисциплин в университетах имогут найти (и уже находят) применение в новейших исследованиях погеометрии пространств модулей, интегрируемым системам, функциональному анализу, тропической геометрии и их приложению к задачамквантовой математической физики.

Дальнейшие исследования поставленных проблем могут служить хорошим источником тем для дипломных и диссертационных работ и будут способствовать закреплению студентов и молодых ученых в научнойработе.

По результатам проведённых исследований участниками проекта было опубликовано 12 научных работ в ведущих рецензируемых журналах и препринтов, а также сделано более 15 докладов на престижных международных физико-математических конференциях. В рамках работы надпроектом в течение минувшего года на факультете работало 4 еженедельных научных семинара, результаты исследований использованы приразработке 4 новых университетских курсов.