Многогранники Ньютона и числа корней неалгебраических систем уравненийNewton polytopes and numbers of roots of non-algebraic systems

Найденная в теореме Кушниренко-Бернштейна связь между числами решений систем полиномиальных уравнений и смешанными объемами некоторых выпуклых тел (многогранников Ньютона) выживает также вне контекста алгебраической геометрии.
Во второй части рассматриваются системы уравнений на произвольном гладком многообразии $X$.
Оказывается, что в этом случае ожидание числа совместных нулей системы уравнений равно смешанному симплектическому объему некоторых банаховых тел.
Банаховым телом на $X$ называется семейство компактных выпуклых центрально симметричных множеств в слоях $T_x^*X$ кокасательного расслоения многообразия $X$.
Объединение этих множеств является областью в $T^*X$. Симплектическим объемом банахова тела называется объем этой области, измеренный при помощи стандартной симплектической структуры $T^*X$.
В первой части рассматриваются экспоненциальные многообразия, т.е. аналитические множества в ${\mathbb C}^n$, заданные как нулевые множества конечных систем экспоненциальных сумм.
В алгебраической геометрии "кольцом условий"\ называется построенное De Concini и Procesi кольцо теории пересечений на однородных сферических многообразиях.
Мы определяем индекс пересечения экспоненциальных многообразий и строим соответствующее "кольцо условий"\ пространства ${\mathbb C}^n$.
Это кольцо вычисляется в терминах выпуклой геометрии. Его применение позволяет перенести некоторые вычисления с многогранниками Ньютона в контекст экспоненциальных многообразий.