Эллиптические интегрируемые системы: собственные функции и дуальностиElliptic integrable systems: eigenfunctions and dualities

Данная диссертация посвящена изучению интегрируемых систем многих тел и дуальностей между ними. Центральным действующим лицом в ней является ряд систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда/ Рейсенарса-Шнайдера и их вырождений/обобщений. В канонических координатах эти системы характеризуются зависимостью Гамильтонианов от положений и импульсов частиц. Обе эти зависимости могут быть рациональными, тригонометрическая или эллиптическая соответственно. Таким образом, в общей сложности мы получаем таблицу 3 на 3 из 9 систем. В первой части диссертации основное внимание уделяется первой строке таблицы – системам с рациональной зависимостью от импульсов. Мы изучаем R-матричнозначные пары Лакса  для систем Калоджеро-Мозера и их связь с квантовыми спиновыми цепочкам типа Халдейна. Во второй части диссертации наш интерес смещается к системам с тригонометрической зависимостью от импульса. Мы обобщаем соответствие qKZ-Руйсенарса, распространив его на R-матрицы ассоциированные с супералгеброй gl(N|M). Последние две части посвящены экзотической системе с эллиптической зависимостью от импульса. В третьей части диссертации получено обобщение определителя Секигути-Дебьяра-Макдональда для Дважды эллиптической системы и продемонстрирована возможность его использования  для изучения собственных значений гамильтонианов Коротеева-Шакирова в их координатно-тригонометрический пределе. Найдено согласие с численными предсказаниями Аваты-Канно-Морозова-Миронова. В четвертой части диссертации мы изучаем предел бесконечного числа частиц описанной выше (ell, trig)-системы: с помощью некоммутирующих дуальных эллиптических операторов Чередника. Путем сравнения собственных значений мы предсказываем, что этот предел будет связан с некоторым представлением эллиптической тороидальной алгебры.