Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

Диссертация состоит из двух частей. А. Гончаров высказал гипотезу усиливающую классический закон взаимности А. Суслина для $K$ -- теории Милнора. Для произвольного поля $F$, А. Гончаров ввел комплексы $\Gamma(F,n)$, которые гипотетически вычисляют мотивные когомологии веса $n$. Если $X$ это кривая над алгебраически замкнутым полем $k$, то есть полное отображение вычета $\Gamma(k(X),3)\to \Gamma(k,2)$. Гипотеза Гончарова утверждает что это отображение гомотопно нулевому, и что гомотопия может быть выбрана функториальным образом.  Первая часть диссертации посвящена доказательству этой гипотезы.Вторая часть посвящена описания так назывой группы Блоха $B_2(F)$, в случае когда поле $F$ представляет собой поле рациональных функций $k(E)$ на эллиптической кривой $E$ над алгебраически замкнутым полем $k$ характеристики ноль. По определению эта группа задается как фактор свободного векторного пространства порожденного всеми рациональными функциями на $E$ по так называемому $5$-членному соотношению Абеля. Основной результат заключается в том что в качестве образующих можно выбрать функции степени не превосходящей $3$. Этот результат применяется для описания функциональных соотношений для так называемого дилогарифма Блоха-Вигнера.

Диссертация посвящена построению модулярных форм от двух переменных, являющихся гладкими представителями классов когомологий модулярных поверхностей. А именно, рассматривается случай, когда в качестве многообразия выступает дополнение к кривой Гекке (графику $N$-соответствия Гекке) на произведении двух стандартных модулярных кривых $Y_0(1)^2$. Гладкий представитель класса соответствия позволяет описать действие этого соответствия на когомологиях в терминах интегрального оператора. Используя построенную дифференциальную форму с простым полюсом на кривой Гекке $\Xi_N(z_1, z_2)$ (модулярное ядро Коши), в первой главе доказывается обобщение результата Загье об интегральном представлении операторов Гекке на случай параболических форм веса 2 произвольного уровня, а также приводится представление разницы двух автоморфных функций Грина (резольвент ядра) в виде регуляризованного интеграла по фундаментальной области конгруэнц-подгруппы Гекке. Во второй главе разобрана конструкция бимодулярных форм с заданными вычетами на кривую Гекке. Последняя глава посвящена изучению модулярного ядра Коши в случае модулярной поверхности Гильберта.