Диссертации, представленные на защиту и подготовленные в НИУ ВШЭ

Диссертация посвящена некоммутативным обобщениям четвертого уравнения Пенлеве. Классификация основана на двух методах, которые позволяют найти возможных кандидатов в интегрируемые неабелевы аналоги уравнения Пенлеве IV: (1) матричный тест Пенлеве-Ковалевской и (2) разрешимость в терминах некоммутативной цепочки Тоды.
При помощи первого подхода мы нашли три неэквивалентных класса матричных систем с неабелевыми постоянными. Также найдены редукции построенных обобщений к известным матричным аналогам уравнения Пенлеве II. Для одного из обобщений предъявлена гамильтонова форма с постоянной скобкой Пуассона. Второй метод оказался эффективным для построения полностью некоммутативного аналога четвертого уравнения Пенлеве, который также обладает гамильтоновой структурой. Чтобы доказать интегрируемость полученных обобщений, мы предъявили изомонодромные пары Лакса для них.

Диссертация посвящена соответствию между изомонодромными деформациями и конформной теорией поля.
В ней получен ряд результатов по этому соответствию, а именно:
 1) доказана формула Гамаюна-Иоргова-Лисового для тау-функции уравнений Пенлеве VI, V и III в виде ряда Фурье от конформных блоков алгебры Вирасоро с центральным зарядом 1.
 2) Построена и доказана q-деформация этой формулы для уравнения q-Пенлеве III.
 3) Соответствие было расширено на случай центрального заряда c=-2.
Доказательства основаны на теории представлений алгебр Вирасоро и Супер Вирасоро, а также на соотношениях раздутия Накаджимы-Ёшиоки.