Linear Algebra

2019/2020

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

10

ECTS credits

Delivered at:

Faculty of Mathematics

Course type:

Elective course

When:

3 year, 2, 4 module

Instructor

Shtern, Alexander

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины "линейная алгебра" направлено на: формирование у студентов базовых знаний о методах линейной алгебры, формирование у студентов знаний по основам современной алгебры и их роли в системе современной науки; формирование навыков работы с системами линейных уравнений, матрицами, линейными отображениями; получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи линейной алгебры; формирование у студентов навыков применения методов линейной алгебры в исследовательской деятельности

Цель освоения дисциплины

• Формирование у студентов базовых знаний о методах линейной алгебры
• Формирование у студентов знаний по основам современной алгебры и их роли в системе современной науки
• Формирование навыков работы с системами линейных уравнений, матрицами, линейными отображениями
• Получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи линейной алгебры
• Формирование у студентов навыков применения методов линейной алгебры в исследовательской деятельности

Планируемые результаты обучения

• Знает основные понятия, связанные с векторами, координатами, векторными пространствами, линейными отображениями, квадратичными и билинейными формами, тензорами; понятия линейной зависимости/независимости векторов; основные свойства векторных пространств, матриц, линейных операторов и их определителей, собственных векторов и собственных значений;
• Владеет навыками исследования прикладных задач с помощью методов линейной алгебры; навыками применения линейной алгебры в других математических дисциплинах; навыками решения систем линейных уравнений, нахождения базисов подпространств, вычисления определителей, собственных векторов и собственных значений операторов; навыками работы с пространствами с симметрическим/кососимметрическим скалярным произведением, нахождения метрических характеристик векторов в евклидовом/эрмитовом пространстве
• Умеет решать однородные и неоднородные системы линейных уравнений; находить базисы подпространств; вычислять определители матриц; находить собственные векторы и собственные значения линейных операторов; приводить квадратичные формы к главным осям.

Содержание учебной дисциплины

• Системы линейных уравнений
  Метод Гаусса
• Векторное пространство, базис и размерность
  Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство
• Линейные отображения
  Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение
• Линейные операторы
  Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов
• Скалярное произведение
  Ортогонализация Грама-Шмидта
• Билинейные и квадратичные формы.
  Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестра
• Евклидово и эрмитово пространство
  Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство
• Векторное пространство с оператором
  Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализуемость
• Корневые векторы
  Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы. Жорданова нормальная форма
• Евклидово и эрмитово пространство с оператором
  Симметрические/ эрмитовы, кососимметрические/ косоэрмитовы, ортогональные/ унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением
• Алгебра кватернионов
  Эпиморфизм SU(2)->SO(3)
• Тензоры
  Примеры. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры

Элементы контроля

• контрольная
• коллоквиум

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5 * коллоквиум + 0.5 * контрольная

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1998

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 1999