Probabilities Theory and Math Statistics 1 (Advanced course)

2026/2027

Academic Year

RUS

Instruction in Russian

5

ECTS credits

Delivered at:

Department of Applied Economics

Course type:

Elective course

When:

2 year, 1, 2 module

Instructors

Gergenreter, Anastasia

Gorevoy, Nikita

Potanin, Bogdan

Румянцева Екатерина Владимировна

Программа дисциплины

Аннотация

Данный курс представляет собой достаточно строгое, но в то же время доступное введение в теорию вероятностей и математическую статистику. Доступность достигается посредством разбора большого числа специально подобранных примеров. Данный курс абсолютно необходим для дальнейшего изучения таких дисциплин, как «Эконометрика», «Анализ временных рядов», «Случайные процессы» и многих других.

Цель освоения дисциплины

• Целями дисциплины «Теория вероятностей и Математическая статистика 1 (углубленный курс)» являются овладение студентами навыками применения стандартных и продвинутых методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач.

Планируемые результаты обучения

• Обучающийся может применять формулу объединения событий и формулу вероятности обратного события для решения задач
• Обучающийся способен построить функцию распределения и функцию плотности для непрерывной случайной величины, а также пользоваться свойствами соответствующих функций
• Обучающийся способен применять закон больших чисел для решения задач
• Обучающийся способен решать задачи на сходимость по распределению
• Обучающийся способен сформулировать свойства функции вероятностей и функции распределения дискретной случайной величины
• Обучающийся умеет задавать и применять совместное распределения непрерывных случайных величин (в том числе условное)
• Обучающийся умеет использовать следующие формулы для решения задач: формула пересечения событий, формула полной вероятности, формула условной вероятности и формула Байеса.
• Обучающийся умеет применять неравенство Маркова и неравенство Чебышева для решения задач
• Обучающийся умеет проверять независимость дискретных случайных величин
• Студент может сформулировать основные свойства функции вероятностей
• Студент может сформулировать следующие понятия: условная вероятность, полная группа событий, попарная несовместность событий, независимость событий (попарная и в совокупности).
• Студент способен найти маржинальное распределения непрерывной случайной величины и его характеристики
• Студент способен описать параметры и сформулировать основные характеристики (моменты, функция вероятностей, функция распределения и носитель) распределения Бернулли, Биномиального распределения, распределения Пуассона, геометрического распределения и мультиномиального распределения, а также применять изученные ранее формулы для дискретных случайных величин в отношении соответствующих распределений
• Студент способен решать задачи на распределение дискретных случайных величин
• Студент способен совершать базовые операции над событиями, такие как пересечение, объединение и вычитание
• Студент способен сформулировать определение дискретной случайной величины, а также ее распределения (в том числе условного), функции вероятностей, функции распределения и носителя
• Студент способен сформулировать основные понятия теории вероятностей, такие как случайный эксперимент, пространство элементарных событий (для случая счетного числа элементарных исходов), пространство событий, случайное событие, достоверное событие, невозможное событие, несовместные события, обратное событие, функция вероятности
• Студент умеет задавать распределение (в том числе условное) дискретной случайной величины при помощи функции вероятностей и таблицы, а также строить функцию распределения
• Студент умеет задавать совместное распределение (в том числе условное) дискретных случайных величин при помощи совместной функции вероятностей и таблицы, а также считать с его помощью вероятности и ковариацию
• Студент умеет решать задачи на сходимость по вероятности и брать предел по вероятности
• Студент умеет считать вероятности и моменты (в том числе условные) для непрерывных случайных величин
• Студент умеет считать ковариацию между непрерывными случайными величинами
• Студент умеет считать условные и безусловные моменты для дискретных случайных величин и функций от них (в том числе математическое ожидание и дисперсию), а также применять соответствующие навыки для решения задач
• Участник курса может задать распределение (в том числе условное) функции от дискретной случайной величины
• Участник курса умеет искать вероятность события исходя из вероятностей соответствующих ему элементарных исходов
• Участник курса умеет находить маржинальное распределение дискретной случайной величины
• Участник курса умеет находиться и использовать распределение функции от непрерывной случайной величины
• Участник курса умеет применять центральную предельную теорему для решения задач
• Участник курса умеет строить совместную функцию распределения и совместную функцию плотности (в том числе условные) непрерывных случайных величин, а также использовать свойства соответствующих функций
• Студент может записать функцию плотности, функцию распределения, математическое ожидание, медиану и ковариационную матрицу многомерного нормального распределения (в том числе условного), а также вычислять вероятности и квантили нормального распределения с помощью таблиц.
• Студент студент умеет пользоваться основными свойствами многомерного нормального распределения, в частности, находить распределение линейной комбинации случайных величин, совместное распределение которых является многомерным нормальным.
• Студент может сформулировать определение характеристической функции случайной величины, а также использовать свойства этой функции для решения задач.

Содержание учебной дисциплины

• Дискретное вероятностное пространство
• Условная вероятность
• Дискретные случайные величины
• Моменты дискретных случайных величин
• Совместное распределение непрерывных случайных величин
• Совместное распределение дискретных случайных величин
• Основные дискретные распределения
• Непрерывные случайные величины
• Неравенство Маркова и неравенство Чебышева
• Сходимость по вероятности и закон больших чисел
• Сходимость по распределению и центральная предельная теорема. Дельта-метод.
• Многомерное нормальное распределение
• Характеристическая функция

Элементы контроля

• Контрольная работа 1
• Контрольная работа 2
• Контрольная работа 3
• Экзамен
• Активность

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 2nd module
  0.1 * Контрольная работа 3 + 0.1 * Активность + 0.1 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Теория вероятностей и математическая статистика - 2 (промежуточный уровень) : учеб. пособие, Шведов, А. С., 2007
• Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Шведов, А. С., 2005
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : более 360 задач и упражнений, Борзых, Д. А., 2016

Авторы

• Потанин Богдан Станиславович
• Борзых Дмитрий Александрович
• Коссова Елена Владимировна