Окончив искусствоведческое отделение исторического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Леонид Бажанов работал в Государственном музее изобразительных искусств им. А.С. Пушкина, в Государственных музеях Московского Кремля, Правлении Союза художников СССР, Центральном выставочном зале Москвы (Манеже), издательстве «Советский художник». В этот же период он занимался живописью, был участником и организатором неофициальных художественных выставок в Москве, снимал документальные фильмы.
Леонид Бажанов стал основателем и руководителем художественного объединения «Эрмитаж», Центра современного искусства, Государственного центра современного искусства, а также принимал участие в создании и работе других институций художественной культуры, возглавлял управление изобразительного искусства Министерства культуры РФ, был художественным руководителем Государственного центра современного искусства.
Кроме того, Леонид Бажанов является автором статей, посвященных теории и практике современного искусства, куратором художественных выставок в России и за рубежом, а также российских выставочных проектов на международных биеннале и триеннале в Венеции, Сан-Паулу, Стамбуле, Каире, Нью-Дели. Он читал курсы лекций о современном изобразительном искусстве, архитектуре и дизайне, участвовал в российских и международных научных конференциях и симпозиумах.
Леонид Бажанов — член Международной ассоциации художественных критиков (AICA), Российской академии художеств, Ассоциации искусствоведов (Россия), Ассоциации «KIM» (Рига, Латвия), Союза художников Азербайджана, Международного совета Музея современного искусства (Рига, Латвия), Общественной Комиссии по сохранению наследия академика Сахарова, заслуженный работник культуры Российской Федерации, лауреат государственных наград России и Польши.