Эллиптические полилогарифмы. Общая теория и приложенияElliptic polylogarithms. General Theory and Applications

Исследования посвящены обобщению классических полилогарифмов, введенных Л.Эйлером, на случай эллиптических кривых. Цель -- перенести с кривых рода ноль на кривые рода один как понятие полилогарифмов так и их геометрическую интерпретацию. Конструкция этих функций основана на взвешенном усреднении с последующей дзета—регуляризацией. Технически это реализуется путем рассмотрения производящих функций как мероморфных функций производящего аргумента с анализом области сходимости и асимптотики на границе этой области. Данный подход значительно упрощает как анализ трансформационных свойств по отношению к сдвигам на решетку так и вычисление производных построенных функций. Так, производные   эллиптических полилогарифмов совпадают с классическими рядами Эйзенштейна. В сочетании с использованием действия унимодулярной целочисленной группы на решетке сдвигов модулярные свойства рядов Эйзенштейна влекут трансформационные свойства по отношению к модулярным преобразованиям. Также как и классические полилогарифмы, эллиптические допускают интерпретацию как расширение ходжевых пучков. Это позволяет дать определение полилогарифмов для любой релевантной теории когомологий.В работе приводятся примеры применения развитой техники к теоретико-числовым задачам.